Identità di Green

Le identità di Green sono due corollari del teorema di Ostrogradskij:

$\int _{V}(f\Delta g+\nabla f\cdot \nabla g)dv=\oint _{S}f{\frac {\partial g}{\partial n}}d\Sigma$

$\int _{V}(f\delta g-g\delta f)dv=\oint _{S}\nabla \cdot (f\nabla g-g\nabla f)d\mathbf {\Sigma }$

Dimostrazione

Si ottengono a partire dalla divergenza del prodotto di uno scalare ed un gradiente.

Infatti poiché la divergenza di un prodotto tra scalare e vettore è:

$\nabla \cdot (f\mathbf {G} )=f\nabla \cdot \mathbf {G} +\nabla f\cdot \mathbf {G}$

se il vettore di nostro interesse è a sua volta un gradiente (cioè è conservativo):

$\nabla \cdot (f\nabla g)=f\Delta g+\nabla f\cdot \nabla g$

dove il simbolo Δ è il laplaciano della funzione scalare.

La prima identità si ottiene integrando ora ambo i membri su un volume,

$\int _{V}\nabla \cdot (f\nabla g)dv=\int _{V}f\Delta g+\nabla f\cdot \nabla gdv$

ed infine applicando al primo membro il teorema di Ostrogradskij

$\oint _{S}(f\nabla g)d\mathbf {\Sigma } =\int _{V}(f\Delta g+\nabla f\cdot \nabla g)dv$ Q.E.D.

Si può eventualmente riscrivere il flusso:

$\oint _{S}f{\frac {\partial g}{\partial n}}d\Sigma =\int _{V}(f\Delta g+\nabla f\cdot \nabla g)dv$,

dove n è il versore normale alla superficie in ogni suo punto.

La seconda può invece essere ricavata in modo analogo sottraendo alla relazione di cui sopra l'identica ottenuta scambiando f e g:

$\nabla \cdot (g\nabla f)=g\Delta f+\nabla g\cdot \nabla f$

Poiché il prodotto scalare è commutativo, infatti i secondi termini si annullano vicendevolmente:

$\nabla \cdot (f\nabla g-g\nabla f)=f\Delta g-g\Delta f$

$\int _{V}\nabla \cdot (f\nabla g-g\nabla f)dv=\int _{V}f\Delta g-g\Delta fdv$

Quindi si applica al primo membro il teorema di Ostrogradskij,

$\oint _{S}\nabla \cdot (f\nabla g-g\nabla f)d\mathbf {\Sigma } =\int _{V}(f\Delta g-g\Delta f)dv$ Q.E.D.

$\oint _{S}f{\frac {\partial g}{\partial n}}-g{\frac {\partial f}{\partial n}}d\Sigma =\int _{V}(f\delta g-g\delta f)dv$