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Teorema della divergenza: differenze tra le versioni

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L'enunciato afferma che il [[flusso]] (uscente) di un [[campo vettoriale]] '''F''' sufficientemente regolare attraverso una [[superficie (matematica)|superficie]] chiusa ''S'', coincide con l'integrale della [[divergenza]] svolto nel volume ''V'' delimitato da ''S''. In simboli
 
: <math>\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigmas} = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} dv </math>
 
con ''sufficientemente regolare'' si intende un campo di [[classe C di una funzione|classe]] ''C''<sup>1</sup>, ovvero [[derivata|derivabile]] e con derivata continua, in un intorno [[insieme aperto|aperto]] del dominio.
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== Significato fisico della divergenza ==
Consideriamo un punto dello spazio tridimensionale e una [[base ortonormale]] '''i''', '''j''', '''k'''. Intorno a quel punto, possiamo costruire un cubo infinitesimo di volume <math>dv</math> concorde con quella terna; indichiamo con ''d''Σs la superficie di una faccia. Il flusso (uscente) del campo attraverso le superfici normali al [[versore]] '''j''', diretto dalla faccia inferiore (''F''<sub>inf</sub>) a quella superiore (''F''<sub>sup</sub>), è dato da
 
:<math>\left [\mathbf{F}_\text{sup} - \mathbf{F}_\text{inf} \right] \cdot \mathbf{j} d \Sigma s= \frac{\partial F_j}{\partial j} dj d \Sigmas</math>
 
un discorso simile vale per le altre coppie di facce, quelle ortogonali a '''i''' ed a '''k'''. Sommando i tre contributi, si ottiene il flusso totale; considerato inoltre che <math>di \, d \Sigma s= dj \, d \Sigma s= dk \, d \Sigma s= dv</math>, si ha
 
:<math>d \Phi = \left (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \right) dv</math>
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{{vedi anche|equazione di continuità}}
 
Supponiamo di avere una distribuzione di [[massa (fisica)|massa]] con [[densità]] ρ, che si muove nel punto '''r''' a velocità '''v'''('''r'''). La quantità di materia che attraversa la superficie ''d''Σs lungo la normale '''n''' nel tempo ''dt'' è data da (si pone ''d'''''Σs'''&nbsp;=&nbsp;''d''Σs'''n''')
 
:<math>\rho d\mathbf{\Sigmas} \cdot \mathbf{v} dt</math>
 
si tratta semplicemente del flusso della densità di corrente '''J''', ρ'''v''' (per ''dt''). In assenza di fenomeni di creazione e distruzione all'interno di un determinato volume ''V'', la materia uscente dalla superficie limite ''S'' nel tempo ''dt'' coincide esattamente con la variazione della massa interna cambiata di segno
 
:<math>\oint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{\Sigmas} \ dt = - \frac{\partial}{\partial t} \iiint_V \rho dv \ dt</math>
 
usando il teorema della divergenza ed eliminando le integrazioni sul volume (data l'arbitrarietà di ''V''), si ottiene
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Prendiamo un campo scalare ''f'' e il versore '''j''', e applichiamo al campo ''f''&nbsp;'''j''' il teorema della divergenza
 
:<math>\oint_S f \mathbf{j} \cdot \ d\mathbf{\Sigmas} = \iiint_V \mathbf{\nabla} \cdot f \mathbf{j} \ dv = \iiint_V \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{j} \ dv </math>
 
nell'ultima uguaglianza compare l'operatore [[gradiente]]. Questo risultato rimane ovviamente valido se si sostituisce a '''j''' un qualunque altro versore della terna ortonormale: quindi
 
:<math>\oint_S f d\mathbf{\Sigmas} = \iiint_V \mathbf{\nabla} f dv</math>
 
la relazione ottenuta riveste una certa utilità in alcuni contesti. Se invece si considera un campo tridimensionale '''F''' e il corrispondente [[prodotto vettoriale]] '''j''' × '''F''', procedendo in maniera analoga si ottiene una formula simile in funzione del [[rotore (matematica)|rotore]]
 
:<math>\oint_S d\mathbf{\Sigmas} \times \mathbf{F} = \iiint_V \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} dv.</math>
 
== Bibliografia ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenza"