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Equazioni di Maxwell: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|le equazioni di Maxwell della termodinamica|[[Relazioni di Maxwell]]}}
 
In [[fisica]], in particolare in [[elettrodinamica classica]], le '''equazioni di Maxwell''' sono un sistema di quattro [[equazioni differenziali alle derivate parziali]] lineari che descrivono [[teorema di Helmholtz|completamente]] l'evoluzione spaziale e temporale del [[campo elettromagnetico]] classico.<ref name=def>{{Cita|Jackson|Pag. 2|Jackson}}</ref> Più precisamente, lefondamentale equazioniin esprimonoquanto la formasua localeconoscenza le proprietàdetermina [[fisica classica|classichedinamica]]mente dell'[[interazioneil sistema<ref elettromagnetica]]name=vuoto>{{Cita|Mencuccini, espresseSilvestrini|Pag. dalla [[Legge di Ampère456|leggemencuccini}}</ref>, dicom'è Ampère-Maxwell]],noto dalla [['''legge di Faraday]] e dall'[[equazioneHendrik di continuitàLorentz|Lorentz]]''': per la [[carica elettrica]].<br>
 
:<math>\mathbf F = q(\mathbf E + \mu \mathbf v \times \mathbf BH)</math>▼
La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo completo il legame tra [[campo elettrico]] e [[campo magnetico]], che in condizioni non stazionarie appaiono come le manifestazioni di una stesa entità fisica, il campo elettromagnetico.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 351|mencuccini}}</ref> Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel testo "''A Treatise on Electricity and Magnetism''", pubblicato da [[James Clerk Maxwell]] nel [[1873]], mentre la notazione moderna più comune fu sviluppata da [[Oliver Heaviside]]. Esse costituiscono la prima forma di [[teoria della grande unificazione|unificazione]] delle [[interazione fondamentale|interazioni fondamentali]] in fisica, descrivendo la propagazione delle [[onde elettromagnetiche]].
 
dove il vettore '''v''' è la velocità con cui si muove la carica ''q'' nel sistema di riferimento considerato, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica. ▼
 
Le equazioni di Maxwell corrispondono ad otto equazioni scalari necessarie e sufficienti alla determinazione del campo, secondo il [[teorema di Helmholtz]]. Possono però essere ridotte a sette introducendo l'[[equazione di continuità]]:
 
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf {J} = 0</math>▼
 
il teorema di Gauss per il campo elettrico e quello per il campo magnetico sono infatti ricavabili applicando l'operatore divergenza alle restanti due equazioni, attraverso di essa. Insieme al teorema di dualità trattato nell'ultimo paragrafo questo legame porta alla unificazione costituita dal [[tensore elettromagnetico]].
 
==Cenni storici==
Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel testo "''A Treatise on Electricity and Magnetism''", pubblicato da [[James Clerk Maxwell]] nel [[1873]], mentre la notazione moderna più comune fu sviluppata da [[Oliver Heaviside]]. La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo completo il legame tra [[campo elettrico]] E e [[campo magnetico]] H: nelle condizioni stazionarie che storicamente furono e spesso anche didatticamente sono affrontate per prime appaiono come '''campi''' diversi, mentre da questo momento sono considerate '''manifestazioni''' diverse di un unico campo.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 351|mencuccini}}</ref> Esse costituiscono perciò il primo nucleo della [[teoria della grande unificazione|unificazione]] delle [[interazione fondamentale|interazioni fondamentali]] in fisica, unificando definitivamente [[elettricità]] e [[magnetismo]].
 
La loro importanza non si esaurisce però sul piano storico nel loro carattere ''sintetico'': esse hanno anche un carattere ''predittivo'' che aprì alla previsione delle [[onde elettromagnetiche]], prima sconosciute, del cui studio sarà pioniere [[Augusto Righi|Righi]] e che porteranno alla scoperta di [[Guglielmo Marconi|Marconi]].
E infine alla prima e finora unica [[metrica di Lorentz|rivoluzione della metrica]] della storia della scienza, che aprirà ad [[Einstein]] l'unificazione dello [[spazio-tempo]] e la [[relatività generale|nuova teoria della gravitazione]] che si ritiene debba venire soddisfatta da tutte le [[interazioni]] del mondo fisico.
 
== Le equazioni ==
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|-
! Nome
! Forma differenzialelocale
! Forma integraleglobale
|-
| [[Legge di Gauss]] elettrica
| [[Teorema del flusso]] per il campo elettrico
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho</math>
| <math>\iint_S \mathbf D\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = \iiint_V \rho~\operatorname{d}V</math>
|-▼
| [[Legge di Ampère|Legge di Ampère-Maxwell]]▼
| <math>\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf{J}</math> <math></math>▼
| <math>\oint_l \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{S} + \frac {\partial \Phi_{D,S}}{\partial t}</math>▼
|-
| [[Legge di Faraday]]
Line 27 ⟶ 37:
| <math>\oint_l \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = - \frac {\partial \Phi_{B,S}}{\partial t} </math>
|-
| Legge di Gauss magnetica
| Teorema del flusso per il campo magnetico
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
| <math>\iint_S \mathbf B\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = 0</math>
▲|-
▲| [[Legge di Ampère|Legge di Ampère-Maxwell]]
▲| <math>\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf{J}</math> <math></math>
▲| <math>\oint_l \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{S} + \frac {\partial \Phi_{D,S}}{\partial t}</math>
|}
 
Nel vuoto, le prime due diventanoin mezzo vengono solitamente espresse:<ref name=vuoto>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 456|mencuccini}}</ref>
 
{| class="wikitable"
|-
! Nome
! Forma differenzialelocale
! Forma integraleglobale
|-
| Teorema del flusso per il campo elettrico
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Dove <math>\mathbf E</math> è il [[campo elettrico]], <math>\mathbf D</math> l'[[induzione elettrica]], <math>\mathbf B</math> il [[campo magnetico]] e <math>\mathbf H</math> il campo magnetico nei materiali, ''ρ'' la [[densità di carica]] e '''J''' il [[Vettore (matematica)|vettore]] [[densità di corrente]]. Le costanti ''ε''<sub>0</sub> e ''μ''<sub>0</sub> sono dette rispettivamente [[costante dielettrica del vuoto]] e [[permeabilità magnetica]] del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/''c''<sup>2</sup> = ε<sub>0</sub> μ<sub>0</sub>, dove ''c'' è la [[velocità della luce]].<br>
LeLa formulazione delle equazioni di Maxwell corrispondonodata adin ottoprecedenza equazioniè scalarila che non sono fra loro indipendenti.più Infattigenerale, poichée ponendosi chesono leusati sorgentil'induzione del campoelettrica <math>\rho(\mathbf r,t)D</math> e il campo magnetico <math>\mathbf J(\mathbf r,t)H</math> soddisfinodefiniti l'[[equazioneindipendentemente didal continuità]]:mezzo in cui si trovano.<br>
 
▲:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf {J} = 0</math>
 
il teorema di Gauss per il campo elettrico e quello per il campo magnetico sono ricavabili applicando l'operatore divergenza alle restanti due equazioni,<ref name=vuoto/> che una volta note le relazioni che legano i campi <math>\mathbf E</math>, <math>\mathbf D</math> e <math>\mathbf B</math>, <math>\mathbf H</math> consentono di conoscere tutte le proprietà del campo elettromagnetico.<ref name=vuoto>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 456|mencuccini}}</ref><br>
Le equazioni di Maxwell, insieme alla [[forza di Lorentz]]:
 
▲:<math>\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)</math>
 
▲dove il vettore '''v''' è la velocità con cui si muove la carica ''q'' nel sistema di riferimento considerato, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica.
 
La formulazione delle equazioni di Maxwell data in precedenza è la più generale, e si sono usati i campi elettrico <math>\mathbf D</math> e magnetico <math>\mathbf H</math> definiti indipendentemente dal mezzo in cui si trovano.<br>
Tali campi sono infatti dati da:
 
Line 76 ⟶ 79:
dove le costanti ''ε''<sub>r</sub> e ''μ''<sub>r</sub> sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica relative caratteristiche del mezzo.
 
===Legame Derivazionetra le due forme===
{{vedi anche|Teorema del flusso|Legge di Faraday|Legge di Ampère}}
LeMatematicamente le equazioni diin Maxwellforma descrivonolocale sinteticamentesono tutte''differenziali'' lelineari proprietà delin campoquattro elettromagneticovariabili, ementre perin ricavarneforma laglobale formasono integrale''integrali'': dallaper corrispondentemetterle formain localerelazione è necessario perciò applicare il [[teorema di GreenStokes]] onelle ilsue forme [[teoremabidimensionale]] dellae divergenza[[tridimensionale]]. Nel caso particolare di campi variabili in maniera [[sinusoide|sinusoidale]] nel tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel [[dominio della frequenza]], ovvero nel dominio dei [[fasore|fasori]], semplicemente applicando la [[trasformata di Fourier]] a ciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo. In ogni caso gli strumenti matematici principali sono due:
 
* Il [[Teorema del flusso]], detta anche [[Legge di Gauss]], afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è pari alla somma delle cariche contenute nella superficie divise per la [[permittività elettrica]]:
 
:<math>\Phi_{\Sigma} (\mathbf E)= \int_S \mathbf E \mbox {d}\mathbf S = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}=\frac{\sum_k q_k}{\epsilon_0}</math>
 
:Dal [[teorema della divergenza]] si ha:
 
: <math>\int_S \mathbf{E} \mbox {d}\mathbf{S} = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} \mbox {d}V = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0}\mbox {d}V </math>▼
 
:ed uguagliando gli integrandi nell'ultima relazione si ottiene la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 28|mencuccini}}</ref>▼
 
* La [[legge di Faraday-Neumann-Lenz]] afferma che la variazione nel tempo del flusso del campo magnetico concatenato ad un circuito genera una [[forza elettromotrice]] nel circuito stesso, la quale si oppone alla variazione del flusso:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 353|mencuccini}}</ref>
 
: <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatorname{d}l = -{d \over dt}\int_S \mathbf B \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S</math>▼
 
:applicando il [[teorema di Stokes]] al primo membro:
 
:<math>\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatorname{d}l = \int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \mbox {d}\mathbf S</math>▼
 
:e quindi:
 
:<math>\int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S</math>▼
 
* Il '''[[Teorema di Ostrogradskij]]''', caso tridimensionale che influisce sulla forma della [[Legge di Gauss]] per entrambi i campi, afferma che il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa è pari all'integrale su un volume di cui è la frontiera (unico nello spazio tridimensionale) della divergenza del campo stesso:
:Uguagliando gli integrandi segue la relazione locale.
 
▲: <math>\oint_Ciiint_V \mathbf{E\nabla} \cdot \operatornamemathbf{dF}l dv = \int_S (\nabla \timesoiint_S \mathbf{EF}) \mboxcdot {d}\mathbf{s} S</math>
* L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
 
Infatti applicandolo all'espressione globale della Legge di Gauss:
:<math> \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J \ </math>
 
▲: <math>\int_Siint_S \mathbf{E} \mbox {d}\mathbf{S} = \int_Viiint_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} \mbox {d}V = \int_Viiint_V \frac{\rho}{\epsilon_0}\mbox {d}V </math>
:Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'[[equazione di continuità]] per la [[corrente elettrica]].<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 396|mencuccini}}</ref> Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
 
▲:ed uguagliando gli integrandi nell'ultima relazione si ottiene la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 28|mencuccini}}</ref>
:<math> \nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)</math>
 
La [[Legge di Gauss]] magnetica si ricava inoltre anche operando la [[divergenza]] ad entrambi i membri della [[legge di Biot-Savart]].
:Il termine
 
* Il '''[[Teorema di Kelvin]]''', caso bidimensionale che influisce sulla forma della [[Legge di Faraday-Neumann-Lenz]] e della [[Legge di Ampère-Maxwell]], afferma che la [[circuitazione]] di un campo è pari all'integrale su una superficie che essa racchiude (molteplici nello spazio tridimensionale) del rotore del campo stesso:
:<math> \mathbf {J}_s = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf {E}}{\partial t}</math>
 
▲: <math>\int_Siint_{S} (\nabla \times \mathbf{E} F) \mboxcdot \operatorname{d}\mathbf Ss = -\int_Soint_C \frac{\partialmathbf F \mathbf{B}}{\partialcdot t}\mbox operatorname{d} \mathbf Sr</math>.
:è detto [[corrente di spostamento]], e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 397|mencuccini}}</ref> Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:<ref name=Cloude>{{cite book |title=An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas |author=Raymond Bonnett, Shane Cloude |isbn=1857282418 |publisher=Taylor & Francis |year=1995 |url=http://books.google.com/books?id=gME9zlyG304C&pg=PA16&dq=wave+%22displacement+current%22&lr=&as_brr=0#PPA16,M1 |page=16}}</ref><ref name=Slater>{{cite book |title=Electromagnetism |author=JC Slater and NH Frank |page=84 |url=http://books.google.com/books?id=GYsphnFwUuUC&pg=PA83&dq=displacement+%22ampere%27s+law%22&lr=&as_brr=0#PPA84,M1 |isbn=0486622630 |publisher=Courier Dover Publications |year=1969 |edition=Reprint of 1947 edition}}</ref>
 
:applicandolo al primo membro:
:<math> \mathbf { \nabla \times B} = \mu_0 \left(\mathbf J +\varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}\right)</math>
 
▲: <math>\oint_Ciint_S (\mathbf{E}nabla \cdottimes \operatornamemathbf{dE}l = -{d \over dt}\int_S \mathbf B) \mbox {d}\mathbf Ss = -\int_Siint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox operatorname{d}\mathbf Ss</math>
:si ottiene la relazione locale.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 398|mencuccini}}</ref> Tale equazione è perfettamente simmetrica rispetto alla precedente equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delle equazioni di Maxwell in quanto da esse è ricavabile l'[[equazione delle onde]], mostrando quindi che il [[campo elettromagnetico]] si propaga sotto forma di [[onde elettromagnetiche]].
 
:Uguagliando gli integrandi segue anche qui la relazione locale: fisicamente ciò corrisponde a restringere i domini di integrazione ad un [[punto materiale]].
* Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo. Ciò si può spiegare dal fatto che le [[linea di forza|linee di forza]] del campo magnetico sono chiuse, e pertanto il contributo al flusso di ogni linea entrante alla superficie è annullato dal contributo della stessa linea uscente. Matematicamente la relazione si ricava applicando l'operatore [[divergenza]] ad entrambi i membri della [[legge di Biot-Savart]].
 
== Soluzioni ==
Line 239 ⟶ 220:
Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'[[elettrodinamica classica]].
 
== TeoremaSimmetria e teorema di dualità ==
Al secondo membro della terza equazione può essere aggiunto,introdotto dicon utilità puramente teoricamatematica inalmeno alcunisecondo casila di[[scienza normale]] studioodierna, un [[termine di sorgente]] di densità di corrente magnetica '''<math>J_m</math>''' in modo da simmetrizzarla con la quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di densità di carica magnetica ''<math>\rho_m</math>'' in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non esistanosiano state sinora osservate sperimentalmente [[monopolo magnetico|cariche]] e/o correnti magnetiche (non essendo mai stata osservata la carica magnetica o [[monopolo magnetico]]) l'utilità di tale modifica consiste infatti nella possibilità di poter modellare, attraverso le grandezze fittizie, grandezze reali (ad esempio modellandocomprendendo come mai una spira percorsa da corrente comepossa essere una rappresentazione fisica di un [[dipolo magnetico]] equivalente).
 
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-
! Nome
! Forma differenzialelocale
! Forma integraleglobale
|-
| [[Teorema del flusso|Teorema di Gauss]] per il campo elettrico
Line 266 ⟶ 247:
|}
 
Questo permette di enunciare il cosiddetto '''teorema di dualità elettromagnetico''', per il quale, a partire dall'espressione di '''E'''una grandezza elettrica o magnetica, è possibile ottenere l'espressione di '''H''dell'altra (ecorrispondente: viceversale ottenere l'espressione di '''E''' a partiresostituzioni da quellaoperare di '''H''') attraversosono le seguenti sostituzioni:
 
:<math> \begin{matrix}
Line 307 ⟶ 288:
{{interprogetto|s=en:A_Treatise_on_Electricity_and_Magnetism}}
 
{{Portale|elettromagnetismo|fisicarelatività}}
 
[[Categoria:Elettrodinamica]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell"