Differenze tra le versioni di "Onda elettromagnetica in un conduttore"

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In [[fisica]], lo studio di un''''onda elettromagnetica in un conduttore''' affronta il problema di un'[[onda elettromagnetica]] che incide su un [[conduttore]] e che ha come effetto di accelerare gli [[elettrone|elettroni]] di conduzione, che effettuano un [[Moto armonico|moto oscillatorio]] forzato che dipendedipendente dalla forma dell'onda.<br>
L'onda elettromagnetica non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte [[Riflessione|riflessa]] o dissipata per [[effetto Joule]].
 
==Proprietà dei campi in un conduttore==
Le relative [[equazioni di Maxwell]] si modificano opportunamente nel caso di un conduttore ohmico [[Omogeneità (fisica)|omogeneo]] e [[Isotropia|isotropo]] sono:
 
:<math>a) \ \begin{cases} \nabla^2 \mathbf E - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0 \\ \nabla^2 \mathbf H - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t} = 0 \end{cases}</math>
 
\mathbf:<math> \nabla \cdot^2 \mathbf BH = 0- \\ 3)epsilon \ & \mathbf \nabla \times \mathbf E = -mu \frac{\partial^2 \mathbf BH}{\partial t^2} \\ 4)- \ &sigma \mathbf \nabla \times \mathbf H = \mathbf J +mu \frac{\partial \mathbf DH}{\partial t} \end{cases}= 0 </math>
Esse si possono ricavare dalla [[legge di Ohm]] generalizzata:
 
Esse si possono ricavare dallaa partire da quelle omogenee per mezzo della [[legge di Ohm]] generalizzata:
:<math>b) \ \mathbf J = \sigma \mathbf E</math>
 
:<math>b) \ \mathbf J = \sigma \mathbf E</math>
dove <math>\sigma</math> è la [[conducibilità elettrica]] e <math>\mathbf J</math> è la [[Corrente elettrica|densità di corrente]]. Riscriviamo le equazioni di Maxwell:
 
dove <math>\sigma</math> è la [[conducibilità elettrica]] e <math>\mathbf J</math> è la [[Corrente elettrica|densità di corrente]]. Riscriviamo le equazioni di Maxwell:<br>
:<math>\begin{cases} 1) \ & \mathbf \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ 2) \ &
Dalla quarta equazione alloradi Maxwell, sostituendo a <math>\mathbf J</math> la legge di Ohm:
\mathbf \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ 3) \ & \mathbf \nabla \times \mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\ 4) \ & \mathbf \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}</math>
 
dove <math>\mathbf D = \epsilon \mathbf E</math> e <math>\mathbf H = \frac{\mathbf B}{\mu}</math>, nel caso di materiale omogeneo ed isotropo.
 
Dalla quarta equazione allora sostituendo a <math>\mathbf J</math> la legge di Ohm:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf H = \sigma \mathbf E + \epsilon \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}</math>
 
Ora applicando il rotore ed usando le solite relazioni tra operatori si ottiene:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf H = - \nabla^2 \mathbf H + \mathbf \nabla \mathbf \nabla \cdot \mathbf H = \sigma (\mathbf \nabla \times \mathbf E) + \epsilon \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf \nabla \times \mathbf E)</math>
 
Sapendo che nella seconda uguaglianza:
sapendo che nella seconda uguaglianza, <math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf H = \frac{1}{\mu} (\mathbf \nabla \cdot \mathbf B) = 0</math>, che per la seconda equazione di Maxwell è nullo e per la terza equazione di Maxwell <math>\mathbf \nabla \times \mathbf E = - \mu \frac{\partial H}{\partial t}</math>. Questo procedimento si applica in maniera speculare alla terza equazione di Maxwell riuscendo le '''equazioni di Maxwell nei conduttori''', che riscriviamo:
 
:<math>a) \mathbf \begin{cases}nabla \nabla^2cdot \mathbf EH - \epsilon \mu= \frac{\partial^2 \mathbf E1}{\partial t^2mu} - \sigma \mu \frac{\partial (\mathbf E}{\partial t} = 0 \\ \nabla^2 \mathbf H - \epsilon \mu \frac{\partial^2cdot \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t}B) = 0 \end{cases}</math>
 
e che per la terza equazione di Maxwell:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf E = - \mu \frac{\partial H}{\partial t}</math>
 
applicando tale procedura in maniera speculare alla terza equazione di Maxwell si ottengono le equazioni di Maxwell nei conduttori:
 
:<math> \nabla^2 \mathbf E - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0 </math>
 
:<math>\nabla^2 \mathbf H - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t} = 0 </math>
 
La soluzione generale nel caso di [[onda piana]] che si propaga nella direzione x è:
 
:<math>\phi (x,t) = \Phi(x) e^{j \omega t} \ </math>
 
dove ''j'' è l'unità immaginaria e la funzione complessa <math>\Phi(x)</math> ha soluzione del tipo:
 
:<math>\Phi (x) = A e^{j \alpha x} \ </math>
 
dove:
 
dove :<math>\alpha^2 = \omega^2 \epsilon \mu - j \omega \sigma \mu \ </math>
 
con parte reale e immaginaria data da:
:<math>\phi(x,t) = A e^{\Im(\alpha) \cdot x} e^{j(\Re(\alpha) \cdot x + \omega t)}</math>
 
A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per <math>\Re(\alpha) < 0</math> con '''coefficiente di attenuazione''' <math>|\Im(\alpha)|</math>.
 
==Conclusioni==
Analogamente alle onde che incidono su un conduttore ohmico si parla di [[effetto pelle]] nel caso un conduttore sia percorso da [[corrente alternata]], allora l'oscillazione è maggiore sullo strato superficiale del conduttore. Inoltre l'incidenza di onde elettromagnetiche provocano i fenomeni di [[rifrazione]] e [[riflessione]].
 
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