Differenze tra le versioni di "Integrale"

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→‎Assoluta integrabilità: Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche
(→‎Teorema della media: Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche)
(→‎Assoluta integrabilità: Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche)
 
== Assoluta integrabilità ==
Se consideriamo una funzione ''f'', si dice che ''f'' è assolutamente integrabile su un intervallo del tipo <math>[a,+\infty)</math> se e solo se su questo stesso [[intervallo aperto]] è integrabile anche <math>\left|''f''\right|</math>.<br/>
 
Esiste inoltre un teorema che ci garantisce che una funzione assolutamente integrabile è integrabile, sempre su un intervallo del tipo <math>[a,+\infty)</math>: data una funzione ''<math>f''</math> assolutamente integrabile, per il teorema sull'esistenza integrali impropri all'infinito sappiamo che la [[condizione necessaria e sufficiente]] affinché <math> \int_{a}^{+\infty}\!f(x)dx \,\mathrm{d}x </math> esista finito è che
 
:<math>\forall \epsilon >\ 0 \quad \exists \gamma >\ 0 : \quad \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad \left | \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx \,\mathrm{d}x\right | <\ \epsilon</math>
 
In questa ultima espressione ''<math>f(x)''</math> con <math>\left|''f(x)''\right|</math>: la condizione di esistenza diventa allora:
 
:<math>\forall \epsilon >\ 0 \quad \exists \gamma >\ 0 : \quad \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad \left | \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x)dx \,\mathrm{d}x \right | \right | <\ \epsilon</math>
 
Ma per le proprietà del [[Integrale#Valore assoluto|valore assoluto]] per gli integrali so cheabbiamo
 
:<math>\left | \int_a^b \!f(x) dx\,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | dx\,\mathrm{d}x</math>
 
E quindi possiamo scrivere
 
:<math> \forall \epsilon >\ 0 \quad \exists \gamma >\ 0 : \quad \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x)dx\,\mathrm{d}x\right | <\ \epsilon</math>
 
Da cui si ricava che ''f(x)'' è integrabile
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