Differenze tra le versioni di "Integrale"

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→‎Calcolo differenziale e calcolo integrale: Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche
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Sia f una funzione definita su un intervallo I. Se la funzione è integrabile su ogni intervallo J, chiuso e limitato, contenuto in I, ovviamente al variare dell'intervallo J varierà il valore di tale integrale. In particolare, se J è l'intervallo che ha un estremo x<sub>0</sub> fissato una volta per tutte e l'altro estremo x variabile, l'integrale di f su tale intervallo [x<sub>0</sub>,x] diventa una funzione di x. Tale funzione si dice funzione integrale di f (chiamata anche integrale di [[Evangelista Torricelli|Torricelli]]), e si indica con:
 
:<math>F(x) = \int_{x_0}^{x} \!f(t) \, dt\mathrm{d}t </math>
 
Si noti che la variabile di integrazione t (variabile muta) ha un nome diverso dalla variabile x, estremo mobile dell'intervallo di integrazione: infatti t varia tra x<sub>0</sub> e x.
''Se <math>f:[a,b]\to \mathbb R</math> è una [[funzione continua]] allora la "funzione integrale" definita come
<br/>
:<math>F(x):=\int_a^x \!f(t)dt \,\mathrm{d}t</math>
''è una [[funzione derivabile]] in <math>[a,b]</math> e si ha che <math>F^\prime(x)=f(x)</math> per ogni <math>x \in[a,b]</math>.
 
''Una funzione <math>\ F</math> , continua e derivabile in un intervallo <math>\ [a,b]</math> è detta '''primitiva''' di <math>\ f</math> in <math>\ [a,b]</math> se:
 
:<math>\ F'(x)=f(x) \quad \forall x \in [a,b]</math>
 
Quindi il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce l'esistenza di una primitiva.
=== Infinite Primitive ===
 
Se ''<math>F'(X) = f(x)''</math>, allora ''<math>D(F(X) + c) = f(x)''</math> dove ''c'' è una qualunque costante in <math>\mathbb{R}</math>. Quindi se una funzione ''f(x)'' ammette primitiva ''F(x)'', esiste un'intera classe di primitive del tipo ''G(x)=F(x)+c'', viceversa tutte le primitive di ''f(x)'' sono della forma ''F(x)+c''.
 
==== Dimostrazione ====
 
Siano ''F(x)'' e ''G(x)'' due primitive di ''f(x)''.
Consideriamo la funzione ''H(x) = F(x) - G(x)''.
La derivata prima di ''H(x)'' sarà data da:
 
:<math>H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0,\ \forall x \in [a,b]</math>
 
Quindi H(x) si mantiene costante su tutto l'intervallo a,b e ciò vuol dire che
 
==== Condizione sufficiente per l'esistenza di una primitiva ====
Se ''f(x)'' è continua in [''a,b''] allora ''f(x)'' ammette una (e dunque infinite) primitive (primo teorema fondamentale del calcolo integrale).
 
==== Integrale indefinito ====
Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle [[Primitiva (matematica)|primitive di una funzione]].
La totalità delle primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con il simbolo:
<math>\int \!f(x) \,dx\mathrm{d}x</math>,
che si legge "integrale indefinito della funzione <math>f(x)</math> in <math>dx\mathrm{d}x</math>"; <math>f(x)</math> è detta ''funzione integranda''.
 
L'integrazione indefinita è quindi il processo inverso alla derivazione.
 
Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto.
Se <math>\ f</math> è una funzione definita in un intervallo, e se ammette una primitiva <math>\ F</math> su tale intervallo, allora l'integrale indefinito di <math>\ f</math> è:
 
:<math>\ \int \!f(x) \, dx\mathrm{d}x= F(x)+c</math>
 
dove <math>\ c</math> è una generica costante reale.
Se <math>\ f</math> è continua in <math>\ [a,b]</math>, ed <math>\ F</math> è una primitiva di <math>\ f</math> in <math>\ [a,b]</math> allora
 
:<math>\ \int_{a}^{b} \!f(t) \, dt\mathrm{d}t = F(b)-F(a)</math>
 
Infatti, come già notato in precedenza si ha
 
:<math>\ F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} \!f(t)dt \,\mathrm{d}t - \int_{a}^{a} \!f(t)dt \,\mathrm{d}t = \int_{a}^{a} \!f(t)dt \,\mathrm{d}t + \int_{a}^{b} \!f(t)dt \,\mathrm{d}t - \int_{a}^{a} \!f(t)dt \,\mathrm{d}t</math>
 
da cui si ottiene
 
:<math>\ \int_{a}^{b} \!f(t)dt \,\mathrm{d}t = F(b)-F(a) </math>
ossia la tesi.
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