Differenze tra le versioni di "Funzione differenziabile"

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Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche
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m (Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche)
Tutti i termini presenti (incluso <math>h</math> e <math>0</math>) sono vettori di <math>\R^n</math> oppure <math>\R^m</math>.
 
Se la <math>F</math> è differenziabile in <math>x_0</math>, l'applicazione <math>L</math> è indicata con la scrittura <math>dF_\mathrm{d}F_{x_0}</math> e si chiama [[differenziale (matematica)|differenziale]] di <math>F</math> in <math>x_0</math>.
 
La funzione <math>F</math> è infine '''differenziabile''' se lo è in ogni punto del dominio. In questo caso, il differenziale <math>dF_\mathrm{d}F_{x_0}</math> è un'applicazione lineare che dipende dal punto <math>x_0</math>, come suggerito dalla notazione.
 
== Matrice Jacobiana ==
{{vedi anche|matrice Jacobiana}}
L'[[applicazione lineare]] <math>DF\mathrm{D}F(\mathbf x_0)</math> è [[matrice associata|rappresentata]] da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math> chiamata [[matrice jacobiana]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.
 
A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:
 
* Se <math> m = 1 </math>, la matrice associata a <math>DF\mathrm{D}F(\mathbf x_0)</math> è un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale, chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
 
* Se <math> n = 1 </math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che (se non è costante) definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
La [[trasformazione affine]] che approssima <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione
 
:<math>\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+DF\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0)</math>.
 
Per verificarlo consideriamo un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.
Se facciamo uno zoom sul grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math> la distanza che vediamo tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è pari a
 
:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>
 
dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è
 
:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>,
 
ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di <math>F</math> si deduce che
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