Differenze tra le versioni di "Delta di Dirac"

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[[File:Dirac distribution PDF.png|thumb|right|300px|Grafico della delta di Dirac]]
In [[matematica]], la '''delta di Dirac''', anche detta '''impulso di Dirac''' o '''funzione δ<math>\delta</math>''', è una [[Distribuzione (matematica)|distribuzione]] la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della [[teoria delle distribuzioni]].<br>
Introdotta da [[Paul Dirac]], anche se già presente nei lavori di [[Oliver Heaviside]], è una funzione generalizzata che dipende da un parametro reale in modo tale che sia nulla per tutti i valori del parametro ad eccezione dello zero, ed il suo [[integrale]] sul parametro tra &minus;∞<math>-\infty</math> e <math>+\infty</math> sia pari a 1.<ref name=Dirac1958p58>{{harvnb|Dirac|1958|loc=§15 The δ function}}, p. 58</ref><ref>{{harvnb|Gel'fand|Shilov|1968|loc=Volume I, §§1.1, 1.3}}</ref>
 
Viene utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la [[carica elettrica|carica]] puntiforme, la [[massa (fisica)|massa]] puntiforme, l'[[elettrone]] puntiforme. L'analogo discreto è la [[delta di Kronecker]].
Formalmente la delta di Dirac viene definita dalla seguente notazione:
 
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x) \operatorname \phi (x) \,\operatorname d x = \operatorname \phi (0)</math>
 
valida per ogni [[funzione continua]] in un intorno dello zero. Questa definizione fu introdotta per la prima volta da Dirac alla fine degli [[anni 1920|anni venti]] nelle sue ricerche sulla [[meccanica quantistica]]. Si noti che, pur utilizzando il simbolo dell'[[integrale]], l'operazione non è di integrazione, ma di applicazione di un [[funzionale]] (<math>\delta</math> appunto) ad una [[funzione test]] <math>\operatorname \phi</math>. La delta di [[Paul_Adrien_Maurice_Dirac|Dirac]] è dunque la funzione generalizzata (definita con la simbologia di cui sopra) che trasforma la funzione test <math>\operatorname \phi (t)</math> nel numero <math>\operatorname \phi (0)</math>.
Informalmente la delta di Dirac è una distribuzione che soddisfa la proprietà <math>\delta(x)=0</math> per <math>x\not=0</math>, e tale che:
 
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x) \,\operatorname d x =1</math>
 
Dal punto di vista rigoroso, invece, essa può essere definita sia come distribuzione, sia come misura:
 
===La delta come distribuzione===
Formalmente, la delta di Dirac può essere definita come una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]], vale a dire un [[funzionale lineare]] [[Funzione continua|continuo]] su un opportuno spazio di funzioni dette "di prova". Si consideri come spazio delle funzioni di prova lo [[spazio di Schwartz]], ovvero lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida ''<math>S''('''\mathbb R'''<sup>''^n'')</supmath>) all'infinito e infinitamente derivabili, le cui derivate parziali sono ancora a decrescenza rapida.<br>
Lo spazio delle distribuzioni temperate è definito come lo [[spazio duale]] dello spazio di Schwartz. Una distribuzione ''<math>F''</math> è quindi definita temperata se e solo se:
 
:<math> \lim_{m\to\infty} F(\varphi_moperatorname\phi_m)=0. </math>
 
La distribuzione delta di Dirac associata alla funzione di prova <math>\varphi</math> dello spazio di Schwartz è definita come:
 
:<math>\delta[\varphioperatorname\phi] = \varphioperatorname\phi(0)\,</math>
 
ovvero la delta di una funzione in un punto è un funzionale che associa alla funzione il suo valore nel punto.<br>
Una definizione del tutto equivalente si ottiene facendo uso della derivata nel senso delle distribuzioni della [[funzione gradino di Heaviside|funzione di Heaviside]] <math>H</math>, ovvero per ogni funzione di prova φ<math>\operatorname\phi</math> si ha:
 
:<math>\delta[\operatorname\phi] = -\int_{-\infty}^\infty \operatorname\phi'(x)H(x)\, \operatorname dx.</math>
 
===La delta come misura===
Uno dei modi per definire la delta di Dirac è quello di considerarla una [[misura (matematica)|misura]] che, per ogni sottinsieme <math>A</math> dei numeri reali, restituisce δ<math>\delta(A) = 1</math> se <math>0 \in A</math> e δ<math>\delta(A) = 0</math> altrimenti. L'[[integrale di Lebesgue]] permette di definire l'integrazione rispetto alla misura δ<math>\delta</math>:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta\{\operatorname dx\} = f(0)</math>
 
per ogni funzione ''<math>f''</math> continua a supporto compatto. Questa misura è singolare, e non è quindi [[Continuità assoluta|assolutamente continua]] rispetto alla [[misura di Lebesgue]]. Di conseguenza, la delta di Dirac non ha [[teorema di Radon-Nikodym|derivata di Radon-Nikodym]], ovvero non esiste nessuna funzione ''<math>f''</math> tale che
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\, \operatorname dx = f(0)</math>
 
Di conseguenza, l'uso di quest'ultima notazione per la delta non è altro che un [[abuso di notazione]], e la delta non è una distribuzione regolare.
Tuttavia la notazione integrale è largamente utilizzata, e si usa scrivere impropriamente:
 
:<math>\langle \delta_{x_{0}}|f \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - x_{0})f(x)\,\operatorname dx = f(x_{0})</math>.
 
Come misura di probabilità sui reali, la delta di Dirac è caratterizzata dalla sua [[funzione di ripartizione]] che non è altro che la [[funzione gradino di Heaviside|funzione di Heaviside]]:
\end{cases}</math>
 
Ciò sinifica che ''<math>H(x)''</math> è l'integrale della funzione indicatrice di '''1'''<submath>\mathbf 1_{(&minus;∞-\infty,&nbsp;'' x'']}</submath> rispetto alla misura δ<math>\delta</math>. Ovvero:
 
:<math>H(x) = \int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{(-\infty,x]}(t)\,\delta\{\operatorname dt\} = \delta(-\infty,x].</math>
 
===Generalizzazioni===
La funzione delta può essere definita in uno [[spazio euclideo]] '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath> di dimensione ''<math>n''</math> come una misura tale che:
 
:<math>\int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta\{\operatorname d\mathbf{x}\} = f(\mathbf{0})</math>
 
per ogni funzione continua ƒ a supporto compatto. Nel caso ''n''-dimensionale la delta è il prodotto delle singole delta in una dimensione, ovvero se '''<math>\mathbf{x'''&nbsp;} =&nbsp;(''x''<sub>1</sub>x_1,''x''<sub>2</sub> x_2,...\dots,''x''<sub>''n'' x_n)</submath>), si ha:<ref>{{harvnb|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}}</ref>
 
:<math>\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\delta(x_2)\dots\delta(x_n).</math>
Tale scrittura vale anche nella definizione della delta come distribuzione, ma tale prodotto può essere definito solamente sotto determinate e restrittive ipotesi.<ref>{{harvnb|Strichartz|1994|loc=§2.3}}; {{harvnb|Hörmander|1983|loc=§8.2}}</ref><br>
 
Il concetto di [[misura deltiforme]] ha invece senso su ogni insieme.<ref name="Rudin 1966 loc=§1.20">{{harvnb|Rudin|1966|loc=§1.20}}</ref> Sia ''<math>X''</math> un insieme, sia ''x''<submath>0x_0 \in X</submath>&nbsp;∈&nbsp;''X'' e Σ<math>\Sigma </math> una [[sigma algebra]] dei sottoinsiemi di ''<math>X''</math>, allora la misura definita sugli insiemi ''<math>A''&nbsp;∈&nbsp;Σ \in \Sigma</math> dalla relazione:
 
:<math>\delta_{x_0}(A)=\begin{cases}
1 &\rmmathrm{se\ }x_0\in A\\
0 &\rmmathrm{se\ }x_0\notin A
\end{cases}
</math>
 
è la misura di Dirac in ''x''<submath>0x_0</submath>.
 
Un'altra generalizzazione molto diffusa riguarda infine le [[varietà differenziabile|varietà differenziabili]], in cui molte delle proprietà della delta come distribuzione possono essere sfruttate grazie alla struttura differenziabile. La funzione delta su una varietà ''<math>M''</math> nel punto ''x''<submath>0x_0 \in M</submath>&nbsp;∈&nbsp;''M'' è definita come la distribuzione:
 
:<math>\delta_{x_0}[\operatorname\phi] = \operatorname\phi(x_0)</math>
 
per ogni funzione φ<math>\operatorname \phi</math> reale, liscia e a supporto compatto su ''<math>M''</math>.<ref>{{harvnb|Dieudonné|1972|loc=§17.3.3}}</ref> Un caso particolare molto utilizzato è il caso in cui ''<math>M''</math> sia un insieme aperto di '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath>.
 
== Proprietà e operazioni della delta di Dirac ==
=== Prodotto per uno scalare ===
Per definizione di distribuzione si ha
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} a\delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t = a\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t</math>
 
=== Traslazione ===
Dalla definizione di distribuzione si ha che la delta di Dirac "tempo-ritardata" agisce come:
 
:<math>\int\limits_int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t-T)\,\operatorname dt = f(T)</math>
 
Ovvero la convoluzione di una funzione <math>f(t)</math> con la delta tempo-ritardata significa valutare la funzione al tempo ''<math>T''</math>, e da questo segue che:
 
:<math>(f * \delta(t-T)) = \int\limits_int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-T-\tau) \, \operatorname d\tau = \int\limits_int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot \delta(\tau-(t-T)) \, \operatorname d\tau = f(t-T)\,</math>
 
Questo vale se <math>f(t)</math> è una distribuzione temperata, e come caso particolare si ha:
 
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \, \operatorname dx = \delta(\xi-\eta).</math>
 
=== Riscalamento (e riflessione) ===
: <math>\delta (at) = {1 \over |a|} \delta (t)</math>
Diamone la dimostrazione
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (at) \operatorname \phi (t)\, \operatorname d t =
{1 \over |a|} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) \operatorname \phi \left({t \over a}\right) \operatorname d t =
{1 \over |a|} \operatorname \phi (0) =
\int_{-\infty}^{+\infty} {1 \over |a|} \delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t</math>
Il primo passaggio è lecito se si considerano separatamente <math>a > 0</math> e <math>a < 0</math>, e trovando che il risultato è definito a meno del segno <math>-</math>.
 
 
=== Composizione con una funzione ===
Se ''<math>f''</math> è una funzione derivabile e ''x<submath>ix_i</submath>'' sono gli zeri della funzione, allora:
:<math>\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}</math>
 
: <math>\operatorname \alpha (t) \operatorname \delta (t-t_0) = \operatorname \alpha (t_0) \operatorname \delta (t-t_0)</math>
Diamone la dimostrazione
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} (\alpha (t) \delta (t-t_0)) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t =
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t-t_0) (\alpha (t) \operatorname \phi (t)) \,\operatorname d t =</math>
:<math>\operatorname \alpha (t_0) \operatorname \phi (t_0) =
\int_{-\infty}^{+\infty} (\alpha (t_0) \delta (t-t_0)) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t </math>
 
=== Derivata del gradino ===
La funzione delta è la derivata della [[funzione gradino]] <math>\operatorname u (t)</math> (a volte indicata, con abuso di notazione, <math>\operatorname 1 (t)</math>).
Tale funzione viene anche chiamata [[Funzione gradino di Heaviside|funzione di Heaviside]] e in questo caso viene indicata con il simbolo <math>\operatorname H (x)</math>.
Il valore della funzione gradino è 0 per <math>x<0</math> e 1 per <math>x>0</math>.
 
Diamone la dimostrazione eseguendo una integrazione per parti, e applicando quindi le proprietà degli integrali e del gradino
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname u' (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t = \operatorname - \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname u (t) \operatorname \phi' (t) \,\operatorname d t =
\operatorname - \int_{0}^{+\infty} \operatorname \phi' (t) \,\operatorname d t =
\operatorname -[\operatorname \phi (t)]_0^{+\infty} =
\operatorname \phi (0) =
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t</math>
 
[[Immagine:Dirac distribution CDF.svg|250px|thumb|La funzione gradino di
 
Possiamo effettuare la dimostrazione inversa, ossia dimostrare che <math>\operatorname u (t)</math> è primitiva di <math>\operatorname \delta (t)</math> osservando che
:<math>\int_{a}^{b} \operatorname \delta (t) \,\operatorname dt= \left\{\begin{matrix} 1,\, \mbox{se } a < 0 < b \\ 0, \,\mbox{se } 0 \notin [a,b] \end{matrix}\right.
</math>
Dalle proprietà dell'[[integrale di Riemann]] sappiamo che
:<math>\int_{a}^{b} \operatorname f' (t) \operatorname dt= [\operatorname f (t)]_a^b = \operatorname f (b) - \operatorname f (a)</math>
L'unica funzione che soddisfa tale vincolo è il gradino.
 
=== Derivate distribuzionali della delta ===
La derivata distribuzionale della delta è la distribuzione δ&prime;<math>\delta'</math> definita a partire da <una funzione di test φ<math>\operatorname\phi</math> liscia e a supporto compatto:
 
:<math>\delta'[\varphioperatorname\phi] = -\delta[\varphioperatorname\phi']=-\varphioperatorname\phi'(0).</math>
 
In modo equivalente:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)\varphioperatorname\phi(x)\,\operatorname dx = -\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\varphioperatorname\phi'(x)\,\operatorname dx.</math>
 
Infatti, integrando per parti:
 
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{operatorname d}}{\mathrmoperatorname{d}t}\delta (t) \phi (t) \mathrm,\operatorname{d}t = \left.[ \delta (t) \phi (t) \right|]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \; \frac{\mathrmoperatorname{d}}{\mathrmoperatorname{d}t}\phi (t) \mathrm,\operatorname{d}t
</math>
 
La derivata ''k''-esima è la distribuzione definita in modo analogo:
 
:<math>\delta^{(k)}[\varphioperatorname\phi] = (-1)^k \varphioperatorname\phi^{(k)}(0).</math>
 
La derivata prima della delta è il limite del rapporto incrementale:<ref>{{harvnb|Gel'fand|Shilov|1966|loc=§2.1}}</ref>
:<math>\delta' = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(\tau_h\delta - \delta)</math>
 
dove τ<submath>''h''\tau_h</submath> è l'operatore di traslazione, definito su una funzione da τ<submath>''h''</sub>φ\tau_h\operatorname\phi(x)&nbsp; =&nbsp;φ \operatorname\phi(x+h)</math> e su una distribuzione da:
 
:<math>(\tau_h S)[\varphioperatorname\phi] = S[\tau_{-h}\varphioperatorname\phi].</math>
 
La derivata della delta soddisfa diverse proprietà, tra cui:
 
:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\delta(-x) = -\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\delta(x)</math>
 
:<math>x\delta'(x) = -\delta(x) \ </math>
 
Inoltre, la convoluzione di δ<math>\delta'</math> una funzione ''<math>f''</math> liscia e a supporto compatto è:
 
:<math>\delta'*f = \delta*f' = f' \ </math>
esplicitamente:
 
:<math>(\delta'*f)(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(a - x)f(x)\,\operatorname dx= f'(a)</math>
 
che segue direttamente dalle proprietà della derivata di una convoluzione nel senso delle distribuzioni.
In modo equivalente è definita utilizzando la convergenza nel senso delle distribuzioni:
 
:<math> \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty}\eta_\varepsilon(x)f(x) \, \operatorname dx = f(0) \ </math>
 
per tutte le [[funzioni continue]] <math>f</math> a supporto compatto. La successione ''η''<sub>''ε''</sub>(''x'') si dice allora successione di ''approssimanti'' della delta. È da tener presente che si tratta di [[Distribuzione (matematica)#Convergenza e topologia debole|convergenza debole]] nel senso della teoria delle distribuzioni, cioè valida in senso ordinario solo per la successione degli integrali. Di fatto molte delle successioni di approssimanti non sono convergenti in senso ordinario.<br>
* <math> \forall \epsilon > 0</math>, le successioni:
 
:<math> \int^{-a}_{-\infty}\delta_n(x)\,\operatorname dx \qquad \int^{\infty}_{a}\delta_n(x)\,\operatorname dx</math>
 
:[[Convergenza di funzioni#Convergenza uniforme|convergono uniformemente]] a 0 <math> \forall a \in [\epsilon, {+\infty}]</math>
 
* <math>\lim_{n \to \infty} \, \int^{+\infty}_{-\infty}\delta_n(x)\,\operatorname dx = 1</math>
 
* <math>| \int^{a}_{-\infty}\delta_n(x)\,\operatorname dx | < K </math>
 
:<math>\forall n \in \mathbb{N}</math>, dove ''<math>K''</math> è un numero reale positivo indipendente da ''<math>n''</math>.
 
{{cassetto3
 
;Limite di una [[distribuzione normale]]
:<math>\delta_adelta_n(x) = \frac{1}{an \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/an^2}</math>
 
;Limite di una [[distribuzione di Cauchy]]
 
:<math>\delta_adelta_n(x) = \frac{1}{\pi} \frac{an}{an^2 + x^2}
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x-|aknk|}\;,\operatorname dk
</math>
 
;<math>\varphi</math> di Cauchy (vedi nota)
:<math>\delta_adelta_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{-|x/an|}}{2a2n}
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{ikx}}{1+an^2k^2}\,\operatorname dk</math>
 
;Limite di una [[funzione regolare]]
:<math>\delta_adelta_n(x)= \frac{\textrmoperatorname{rect}(x/an)}{an}
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \textrmoperatorname{sinc} \left( \frac{an k}{2 \pi} \right) \textrm{e}^{ikx}\,\operatorname dk
</math>
 
dove
 
:<math>\varphi(a, k)=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(a,x)\mathrm{e}^{-ikx}\,\operatorname dx</math>
 
è la funzione caratteristica di <math>\delta (n,x)</math>. Questo risultato è collegato alla proprietà di località della [[Trasformata continua di Fourier]].</ref>
 
:<math>
\delta_adelta_n(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{an}\right)
=\frac{1}{2\pi}\int_{-1/an}^{1/an}
\cos (k x)\;,\operatorname dk
</math>
 
;Derivata della [[sigmoide]] (o [[Statistica di Fermi-Dirac]])
:<math>
\delta_adelta_n(x)=\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x/an}}
=-\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x/an}}
</math>
 
;Limite della [[funzioni di Airy|funzione di Airy]]
:<math>
\delta_adelta_n(x) =
\frac{1}{an}A_i\left(\frac{x}{an}\right)
</math>
 
;Limite della [[funzione di Bessel]]
:<math>
\delta_adelta_n(x) =
\frac{1}{a}J_{1/an}
\left(\frac{x+1}{an}\right)
</math>
}}
Ogni funzione appartenente ad <math>L^1(\R)</math> può essere scritta come:
 
:<math>f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{ikx}\operatorname dk \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-iky}f(y)\,\operatorname dy</math>
 
Non è possibile scambiare l'ordine di integrazione, tuttavia è possibile scrivere:
 
:<math>f(x) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} \mathrm{e}^{ikx}\,\operatorname dk \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-iky}f(y)\,\operatorname dy</math>
 
Il primo termine dell'integrale equivale alla successione:
 
:<math>\operatorname \delta_n(t) = \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} e^{ikt}\,\operatorname dk </math>
 
Si nota che tale successione gode delle proprietà:
 
:<math> \lim_{N \to {\pm \infty}} \operatorname \delta_n(t) = 0 \qquad \int_{-\infty}^{+\infty \operatorname }\delta_n(t)\,\operatorname dt = 1</math>
 
che sono le proprietà richieste alla delta di Dirac.<br>
Inserendo tale rappresentazione nella precedente scrittura, e sapendo che il teorema di Fubini Tonelli permette di scambiare l'ordine di integrazione, si ottiene infatti:
 
:<math>f(x) = \lim_{N \to \infty}\int_{-\infty}^{+\infty \operatorname} \delta_n(y - x)f(y) \,\operatorname dy</math>
 
Ovvero la delta di Dirac è definita come il limite della successione:
 
:<math>\delta (t) = \lim_{N \to \infty} \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} \mathrm{e}^{ikt}\,\operatorname dk </math>
 
e dunque la rappresentazione di Fourier della delta è:
 
:<math>\delta (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{ikt}\,\operatorname dk </math>
 
===La trasformata della delta===
La rappresentazione di Fourier rende evidente che la delta è l'antitrasformata della funzione costante <math>f(x) = 1</math>:
 
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} 1 \cdot \mathrm{e}^{2i2\pi i xk}\,\operatorname dk = \delta(x)</math>
 
e dunque:
 
:<math>\hat{\delta}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-2i2\pi i x k}\delta(x)\,\operatorname dx = 1.</math>
 
La dimostrazione si può ottenere anche a partire dalla definizione di trasformata di Fourier delle distribuzioni:
 
:<math>
(\mathfrakmathcal{F}[\delta],\phi)=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathfrakmathcal {F} [\operatorname \delta](\omega) \operatorname \phi (\omega)\,\operatorname d \omega =
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \delta (\omega) \mathfrakmathcal {F} [\operatorname \phi ](\omega)\,\operatorname d \omega =
\mathfrakmathcal {F} [\operatorname \phi](0) =</math>
:<math>
=\left[\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \phi (t) \mathrm{e}^{-ji \omega t}\,\operatorname dt\right]_{\omega = 0} =
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \phi (t)\,\operatorname dt=(1,\phi)
</math>
e la trasformata <math>\hat{\delta}</math> della delta è definita come l'unica distribuzione temperata tale che:
:<math>\langle\hat{\delta},\phi\rangle = \langle\delta,\hat{\phi}\rangle</math>
 
per ogni funzione di Schwartz φ<math>\operatorname \phi</math>.<br>
Segue inoltre che la delta fornisce la condizione di ortogonalizzazzione delle autofunzioni degli operatori di derivazione e integrazione, che costituiscono il nucleo della [[trasformata integrale]] di Fourier su '''<math>\mathbb R'''</math>:
 
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i 2\pi \xi_1 t} \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,\operatorname dt = \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,dt = \delta(\xi_1 - \xi_2).</math>+
\infty} \mathrm{e}^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,\operatorname dt = \delta(\xi_1 - \xi_2)</math>.
 
Tramite [[prolungamento analitico]] è anche possibile definire la [[trasformata di Laplace]] della delta nel seguente modo:
 
:<math> \int_{0}^{\infty}\delta (t-a)\mathrm{e}^{-st} \,\operatorname dt=e^{-sa}.</math>
 
== Significato fisico ==
 
La funzione delta può essere pensata come la ''[[densità]] di un punto''. Consideriamo, ad esempio, un [[corpo (fisica)|corpo]] con [[massa (fisica)|massa]] ''<math>M''</math> finita, esteso in una certa regione ''<math>V''</math> dello [[Spazio (fisica)|spazio]] tridimensionale. Possiamo associare ad ogni punto ''<math>x''</math> dello spazio una quantità ''f''<math>\rho(''x'')</math> che rappresenti la densità del corpo. La funzione ''f''<math>\rho</math> sarà nulla al di fuori della regione ''<math>V''</math> e, all'interno, assumerà valori tali che l'integrale
 
:<math>\int_V f\rho(x) \,\operatorname {d} x</math>
 
converga ad ''<math>M''</math>. Essendo ''f''<math>\rho(''x'') = 0</math> al di fuori di ''<math>V''</math> l'integrale può essere esteso a tutto lo spazio e si può quindi scrivere:
 
:<math>\int f\rho(x) \,\operatorname {d} x = M</math>
 
Ora, se immaginiamo di restringere la regione ''V'' senza variare la massa del corpo, la densità di questo dovrà conseguentemente aumentare e tenderà all'[[infinito (matematica)|infinito]] al tendere di ''V'' al singolo punto: vogliamo, quindi, trovare un'espressione come ''densità limite'' per la densità del corpo puntiforme.
 
Per semplicità consideriamo un corpo con densità costante e a una regione ''<math>V''</math> sferica con raggio ''<math>R''</math>; il [[volume]] di ''<math>V''</math> sarà
 
:<math>\frac {4}{3} \pi R^3</math>
e la corrispondente densità
 
:<math>f_R\rho_R (x) = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3}</math>
 
e in questo modo
 
:<math> \int f_R\rho_R (x)\,\operatorname dx = M,\quad \forall R</math>
 
Se si considera il [[limite (matematica)|limite]]
 
:<math>f\rho(x) = \lim_{R \to 0}f_R\rho_R (x)</math>
 
avverrà che <math>f\rho(x) = \infty</math> per <math>x = 0</math>, <math>f(x) = 0</math> per ''<math>x''≠0\not=0</math>, da cui
 
:<math>\int f\rho(x) \,\operatorname {d}x = 0</math>
 
e questo vuol dire che ''f''<math>\rho(''x'')</math> non è assimilabile alla densità di un punto di massa ''<math>M''</math>.
 
Consideriamo allora un diverso tipo di limite per le densità ''f<submath>R\rho_R</submath>'': il cosiddetto [[limite debole]]. Con pochi calcoli si nota che per ogni [[funzione continua]] ''<math>h''</math>
 
:<math>\lim _{R \to 0} \int f_R\rho_R (x) h(x) \,\operatorname {d} x = M h(0)</math>.
 
Questa formula mostra che il limite debole della successione ''f<submath>R\rho_R</submath>'', è il funzionale che associa alla funzione ''<math>h''</math> il valore ''M h''<math>Mh(0)</math>, questo limite, che indichiamo simbolicamente ''<math>M δ''\delta(''x'')</math>, è la densità cercata; infatti, posto ''<math>h''(''x'')=1</math>, abbiamo
 
:<math>\int M \delta (x) \,\operatorname{d} x = \lim_{R \to 0} \int f_R\rho_R (x) \,\operatorname {d} x = M</math>
 
dove il primo integrale è un'espressione simbolica con cui si sottointende il passaggio al limite.
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