Differenze tra le versioni di "Formula di Bretschneider"

m
Rimossi dei "center dot" superflui prima delle funzioni trigonometriche
m (→‎Dimostrazione: Piccole modifiche alla notazione in un passaggio)
m (Rimossi dei "center dot" superflui prima delle funzioni trigonometriche)
== Dimostrazione ==
Indichiamo con ''A'' l'area del quadrilatero. Allora abbiamo
:<math> \begin{align} A &= \operatorname{Area}(\stackrel{\vartriangle}{ADB}) + \operatorname{Area}(\stackreloverset{\vartriangle}{BDC}) = \\
&= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}
\end{align} </math>
 
Sostituendo questo nella formula di sopra per <math>4A^2</math>, si ottiene
:<math>4A^2 + \frac{(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2}{4} = (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \, </math>
 
Questo può essere scritto come
:<math>16A^2 = (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).</math>
 
Introducendo il semiperimetro
:<math>s = \frac{a+b+c+d}{2},</math>
la formula sopra diventa
:<math>16A^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)</math>
da cui segue la formula di Bretschneider.
 
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