Distribuzione di Maxwell-Boltzmann: differenze tra le versioni
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=== Il modello fisico ===
[[Immagine:Boltzmann gas column.jpg|thumb|250px|right|Schema della pressione che agisce su un elemento fluido alto dz in una colonna di gas sottoposta a gravità.]]
Consideriamo una colonna di gas sotto effetto della [[gravità]]<ref>{{en}} Questa deduzione si può trovare in John D. McGervey, ''Introduction to Modern Physics'', seconda edizione, Academic Press, San Diego, CA, 1983, pp. 6-9. ISBN 0-12-483560-0.</ref>: all'
:<math>\, \mathrm{d}P = - \rho g \, \mathrm{d}z \,</math> .
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=== Distribuzione in una sola direzione ===
Spesso nei casi pratici è meglio esprimere la densità di particelle in funzione della velocità della particella. Definiamo pertanto <math>h(v_z)</math> la distribuzione di velocità monodimensionale in direzione z: cioè, <math>h(v_z) \mathrm{d}v_z </math> è la [[probabilità]] che la componente della [[velocità]] lungo z sia compresa fra <math>v_z</math> e <math>v_z + \mathrm{d}v_z</math>. Dalla legge di conservazione dell'
:<math>\, v_z^2 = 2 gz \,</math> .
da cui differenziando si ottiene <math>v_z \mathrm{d} v_z = g \mathrm{d} z</math>. Queste sono proprio le molecole che raggiungono il livello z, ma non il livello <math>z + \mathrm{d}z</math> perché non hanno abbastanza energia cinetica per farlo. Differenziando la legge esponenziale per la densità si ottiene:
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=== Ipotesi di isotropia ===
Se ci sono direzioni preferenziali del moto, la distribuzione globale non è più dipendente solo dal modulo della velocità, ma anche dalla posizione<ref>
=== Ipotesi di sistema infinito ===
Come visto sopra, la distribuzione di Maxwell-Boltzmann è definita su tutto l'asse reale. Nella realtà, nessun sistema è infinito, ma ha una dimensione finita: tuttavia, perché la deduzione abbia senso, occorre che lo spazio <math>\Delta x</math> che una particella può percorrere in un tempo <math>\Delta t</math> sia sufficientemente piccolo rispetto alla dimensione globale del sistema <math>L</math>. Cioè, in formule, deve valere il limite:
:<math> \lim_{L \rightarrow \infty} \frac{\Delta x}{L} = 0 \,</math> .
Nel caso Maxwell-Boltzmann si ha che
:<math> \Delta x = \sqrt{\langle v_x^2 \rangle} \, \Delta t = \sqrt{\frac{K_B T}{m}} \Delta t \,</math> .
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