Differenze tra le versioni di "Serie di potenze"

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[[Immagine:Exp series.gif|frame|right|Successive approssimazioni della [[funzione esponenziale]] tramite una serie di potenze]]
In [[matematica]], una '''serie di potenze''' in una variabile è una [[serie di funzioni]] della forma:
 
:<math>
 
== Esempi ==
 
Ogni [[polinomio]] può facilmente vedersi come serie di potenze intorno a qualsiasi centro ''c'', con una infinità di coefficienti uguali a zero. Ad esempio il polinomio <math>\,f(x) = x^2 + 2x + 3\,</math> può essere riscritto come serie di potenze con centro <math>c=0</math>
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \ldots \,</math>
::<math>\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \ldots</math> .
 
Una serie nella quale compaiono potenze negative della variabile non è considerata una serie di potenze; ad esempio <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \ldots</math> non fa parte dell'insieme delle serie di potenze; essa fa parte di un altro insieme di serie, quello delle [[serie di Laurent]]. Similmente non sono ammesse fra le serie di potenze le serie nelle quali compaiono termini con potenze frazionali della variabile come <math>x^{1/2}</math>; esse costituiscono l'insieme delle [[serie di Puisieux]]. Osserviamo esplicitamente che i coefficienti <math>a_n</math> non possono dipendere dalla <math>x</math>: quindi per esempio la
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \ldots \,</math>
non è considerata una serie di potenze.
 
=== Moltiplicazione ===
Analogamente, il prodotto di due serie è definito come :
:<math> (f\cdot g)(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)</math>
:<math> = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}</math>
:<math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n</math> .
 
La successione costituita dai nuovi coefficienti :
:<math>m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math>
viene chiamata [[convoluzione]] o [[prodotto di Cauchy]] delle successioni <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math>.
 
== Voci correlate ==
 
* [[Serie]]
* [[Integrale]]