Algebra di Borel: differenze tra le versioni

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==Definizione==
Sia <math>(X,\mathcal{\Tau})</math> uno spazio topologico. L'algebra di Borel di <math>X</math> rispetto a <math>T\mathcal{\Tau}</math> è la più piccola σ-algebra <math>\mathfrak{F}:=\sigma(\mathcal{\Tau})</math> contenente la topologia <math>\mathcal{\Tau}</math>, ossia contenente ogni sottoinsieme aperto di <math>(X,\mathcal{\Tau})</math>.<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 12|rudin}}</ref>
 
La definizione data è motivata dal fatto che, dal momento che l'[[intersezione]] di una famiglia di [[Sigma-algebra|&sigma;-algebre]] è ancora una σ-algebra, data una generica collezione di insiemi si dimostra che esiste una più piccola σ-algebra che contiene la collezione. Più precisamente, se <math>X</math> è un insieme non vuoto e <math>\mathfrak{G}</math> una famiglia di sottoinsiemi di <math>X</math>, allora è ben definita <math>\sigma(\mathfrak{G})</math>, la più piccola σ-algebra su <math>X</math> contenente <math>\mathfrak{G}</math>.<ref name=def/>
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===Terminologia===
In alcuni casi si utilizza il termine "algebra di Borel" per indicare la σ-algebra generata dai [[Insieme compatto|compatti]] della topologia <math>T\mathcal{\Tau}</math> di <math>X</math>. Poiché in uno [[spazio di Hausdorff]] ogni compatto è chiuso, in questo caso la σ-algebra di Borel definita in esso è ''più fine'' di quella generata dai compatti. Risulta che esse coincidono se lo spazio topologico di partenza è uno [[spazio metrico|spazio metrizzabile]] [[Spazio separabile|separabile]] e [[Spazio localmente compatto|localmente compatto]]. Questa seconda definizione di algebra di Borel si utilizza ad esempio per costruire la [[misura di Haar]].
 
Talvolta con il termine, "algebra di Borel" si indentifica anche l'[[Algebraalgebra di insiemi|algebra]] generata dagli aperti di uno spazio topologico, e non la σ-algebra. Questa dicitura è in effetti corretta (definire ''algebra di Borel'' una σ-algebra è improprio), ma tuttavia non moltomeno comune. Ad esempio, intesa con questo significato, l'algebra di Borel dei [[Numero reale|numeri reali]], (equipaggiati con la usuale [[topologia euclidea]]), è costituita semplicemente dalle unioni finite di intervalli.
 
A volte si utilizza, inoltre, il termine "spazio boreliano" come abbreviazione di [[spazio boreliano standard]]. Uno spazio boreliano è detto ''standard'' se lo spazio topologico <math>(X,\mathcal{\Tau})</math>, che genera lo spazio boreliano stesso, è uno [[spazio polacco]]. Gli spazi boreliani standard sono piuttosto interessanti, e verranno dati di seguito alcuni risultati al riguardo.