Algebra di Borel: differenze tra le versioni

In [[matematica]] l<nowiki>'</nowiki>'''algebra di Borel''', o più propriamente la '''σ-algebra di Borel''', è la più piccola [[Sigma-algebra|&sigma;-algebra]] su di un insieme dotato di [[spazio topologico|struttura topologica]] che sia compatibile con la topologia stessa, ovvero che contenga tutti gli aperti della [[topologia]].

Lo [[spazio misurabile]] così definito prende il nome '''spazio boreliano''', gli insiemi contenuti nella σ-algebra di Borel sono detti '''insiemi boreliani''' o '''insiemi di Borel''' ed una [[Misura (matematica)|misura]] definita su una σ-algebra di Borel è detta '''misura di Borel'''.

A volte si utilizza, inoltre, il termine "spazio boreliano" come abbreviazione di [[spazio boreliano standard]]. Uno spazio boreliano è detto ''standard'' se lo spazio topologico <math>(X,\mathcal{\Tau})</math>, che genera lo spazio boreliano stesso, è uno [[spazio polacco]]. Gli spazi boreliani standard sono piuttosto interessanti, e verranno dati di seguito alcuni risultati al riguardo.

Due spazi boreliani <math>(X,\mathfrak{F})</math>, e <math>(Y,\mathfrak{G})</math> sono detti [[Isomorfismo|isomorfi]] se esiste una funzione <math>f:X\mapsto Y</math> [[Funzione biiettiva|biiettiva]] tale che <math>f,\,f^{-1}</math> siano entrambe misurabili.

Siano <math>(\Omega,\mathcal{\Tau}),\,</math> e <math>(\Psi,\Upsilon)</math> due spazi topologici, e siano <math>(\Omega,\mathfrak{F}),\,</math> e <math>(\Psi,\mathfrak{G})</math> i relativi spazi boreliani. Se un'applicazione <math>f:\Omega \mapsto \Psi</math> è [[funzione continua|continua]] (rispetto a <math>\mathcal{\Tau},\,</math> e <math>\Upsilon</math>), allora essa è [[funzione misurabile|misurabile]] (rispetto a <math>\mathfrak{F},\,</math> e <math>\mathfrak{G}</math>).

Questo risultato è importante, ed è utilizzato, ad esempio, per mostrare che le funzioni continue su un compatto di <math>\mathbb{R}^n</math> sono [[Funzione integrabile|integrabili]] rispetto alla [[misura di Lebesgue]], (o, più in generale per compatti di [[Gruppo topologico|gruppi topologici]] [[Spazio localmente compatto|localmente compatti]], rispetto alla [[misura di Haar]]<ref>Si noti che nella costruzione della misura di Haar si utilizza la prima delle definizioni ''alternative'' date sopra. Tuttavia, per tutti gli spazi più comunemente utilizzati, questo risultato è valido anche con tale definizione di ''algebra di Borel''.</ref>). Ne segue anche che se due spazi topologici sono [[Omeomorfismo|omeomorfi]], allora i relativi spazi boreliani sono isomorfi.

Sia <math>(X,\mathcal{\Tau})</math> uno [[spazio polacco]], e <math>\mathfrak{F}</math> la relativa σ-algebra di Borel. Allora lo spazio boreliano <math>(X,\mathfrak{F})</math> è [[isomorfismo|isomorfo]] (nel senso delle categorie definito sopra) ad uno dei seguenti insiemi:

* L'insieme dei numeri reali <math>\mathbb{R}</math>, equipaggiato con la usuale algebra di Borel.

* L'insieme dei [[Numero intero|numeri interi]], equipaggiato con la σ-algebra dell'insieme della parti, (che è semplicemente la σ-algebra di Borel generata dalla topologia discreta).

* Un insieme finito, equipaggiato con la σ-algebra dell'insieme della parti, (che è semplicemente la σ-algebra di Borel generata dalla topologia discreta).

Questo teorema, importante in molti ambiti della matematica, ed in particolare in [[teoria descrittiva degli insiemi]] ed in [[teoria della probabilità]], è dovuto al matematico [[Polonia|polacco]] [[Kazimierz Kuratowski]].