Estrazione di una base: differenze tra le versioni

Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo <math>\Z </math>-modulo libero <math>\Z\oplus \Z </math>. Allora si può verificare che <math>(3,1), (2,0), (0,1) </math> generano tutto <math>\Z\oplus \Z </math> ma né <math>(3,1), (2,0) </math>, né <math>(3,1), (0,1) </math> né <math>(2,0), (0,1) </math> sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello <math>\Z </math>-modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo <math>\Z </math>-modulo libero <math>\Z</math> scegliendo ad esempio <math>2, 3 </math> come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.