Operatore momento angolare totale: differenze tra le versioni

m
fix: \hat \mathbf{} -> \hat {\mathbf{}}
(wip)
m (fix: \hat \mathbf{} -> \hat {\mathbf{}})
Il '''momento angolare totale''' in [[meccanica quantistica]] genera le [[Rotazione (matematica)|rotazioni]] nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al [[momento angolare orbitale]] <math>\hat {\mathbf{L}} = \hat {\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{p}} </math> perché si generalizza anche al [[Spin|momento angolare di spin]] e soprattutto è usato nella [[composizione di momenti angolari]], essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.
 
Si può dimostrare che il momento angolare totale <math>\hat{ \mathbf{J}}</math> è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.
 
Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con <math>\hat {\mathbf{J}}</math> possiamo indicare sia <math>\hat{ \mathbf{L}}</math>, sia <math>\hat {\mathbf{S}}</math> e anche una composizione di momenti <math>\hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{L}} + \hat {\mathbf{S}}</math> oppure <math>\hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{L}_1} + \hat {\mathbf{L}_2}</math> o ancora <math>\hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{S}_1} + \hat{ \mathbf{S}_2}</math>.
 
==Le proprietà del momento angolare totale==
:<math>[\hat J_i, \hat J_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat J_k</math>
 
dove abbiamo usato il [[tensore di Levi-Civita]]. Costruiamo l'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>, cioè l'operatore:
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_{x}^{2} + \hat J_{y}^{2} + \hat J_{z}^{2}</math>
 
Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare totale:
 
:<math>[\hat J_z, \hat {\mathbf{J}}^2] = [\hat J_z, \hat J_{x}^{2} + \hat J_{y}^{2} + \hat J_{z}^{2}] = [\hat J_z, \hat J_{x}^{2}] + [\hat J_z, \hat J_{y}^{2}] + [\hat J_z, \hat J_{z}^{2}] = </math>
 
:<math>\, \, \, \, \, = \hat J_x [\hat J_z, \hat J_x] + [\hat J_z , \hat J_x] \hat J_x + \hat J_y [\hat J_z, \hat J_y] + [\hat J_z, \hat J_y] \hat J_y = i \hbar \hat J_x \hat J_y + i \hbar \hat J_y \hat J_x - i \hbar \hat J_y \hat J_x - i \hbar \hat J_x \hat J_y = 0</math>
e analogamente:
 
:<math>[\hat J_x,\hat {\mathbf{J}}^2] = 0</math>
 
:<math>[\hat J_y,\hat {\mathbf{J}}^2] = 0</math>
 
cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>.
 
Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli [[Operatore posizione|operatori di posizione]] e [[Operatore impulso|impulso]] trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del [[momento angolare orbitale]]:
==Spettro del momento angolare totale==
{{vedi anche|Spettro (matematica)}}
Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio <math>\hat J_z</math>) che commuta con <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>, così lo stato che è [[autostato]] di entrambi gli operatori lo chiamiamo <math>|j,j_z \rangle</math>. Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori a, b (a volte più propriamente indicati con <math>j</math>, <math>j_z</math>, oppure con <math>j</math>, <math>m_j</math>) simultanei di questi operatori:
 
:<math>\left\{\begin{matrix} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = a |j,m_j \rangle \\
\hat J_z |j,m_j \rangle = b |j,m_j \rangle
\end{matrix}\right.
:<math>[\hat J_z, \hat J_{\pm}] = \pm \hbar \hat J_{\pm}</math>
 
:<math>[\hat{ \mathbf{J}}^2, \hat J_{\pm}] = 0</math>
 
L'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> può essere espresso in termini di <math>\hat J_z</math> e operatori di scala <math>\hat J_{\pm}</math>, infatti:
 
:<math>\hat J_- \hat J_+ = \hat J_{+}^{\dagger} \hat J_+ = \hat {\mathbf{J}}^{2} - \hat J_z (\hat J_{z} + \hbar)</math>
 
:<math>\hat J_+ \hat J_- = \hat J_{-}^{\dagger} \hat J_- = \hat {\mathbf{J}}^{2} - \hat J_z (\hat J_{z} - \hbar)</math>
 
dunque:
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_+ \hat J_- + \hat J_{z}^{2} - \hat J_z \hbar = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z \hbar</math>
 
Il significato di <math>\hat J_{\pm}</math> è analogo a quello visto nel [[momento angolare orbitale]]. Vediamo come <math>\hat J_z</math> agisce sullo [[stato quantico|stato]] <math>\hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>:
:<math>\hat J_z \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \left([\hat J_z, \hat J_{\pm}] + \hat J_{\pm} \hat J_z \right) |j,m_j \rangle = (\hat J_+ \hat J_z + \hbar \hat J_+ ) |j , m_j \rangle = (b \pm \hbar) \left(\hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right)</math>
 
cioè applicando <math>\hat J_+</math> l'autovalore di <math>\hat J_z</math> cioè ''b'' aumenta di <math>\hbar</math>, viceversa applicando <math>\hat J_-</math>, l'autovalore di <math>\hat J_z</math> viene diminuito di <math>\hbar</math>, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>:
 
:<math>\hat{ \mathbf{J}}^2 \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \hat J_{\pm} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = a \hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>
 
cioè l'applicazione degli operatori <math>\hat J_{\pm}</math> cambia l'[[autovalore]] di <math>\hat J_z</math>, ma non di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>.
 
Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega <math>\hat{ \mathbf{J}}^2</math> e <math>\hat J_z</math> è:
 
:<math>\langle j, m_j | \left( \hat{ \mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} \right) |j,m_j \rangle = \left \langle \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} \right \rangle \ge 0</math>
 
ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
:<math>-a \le b \le a</math>
 
cioè gli autovalori di della proiezione del momento angolare totale ''b'' non possono superare quelli di <math>\hat{ \mathbf{J}}^2</math>, ''a'': fisicamente ciò significa che ''b'' assume il suo valore massimo quando <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> coincide con la direzione dell'asse ''z'', cioè la sua proiezione <math>\hat J_z</math> coincide con <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>, in tal caso <math>a = b</math>. Quindi l'autovalore di <math>\hat J_z</math> è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>. Chiamiamo <math>b_{min}</math> il valore minimo e <math>b_{max}</math> il valore massimo che può assumere <math>\hat J_z</math>. Applicando successivamente gli operatori di scala <math>\hat J_+, \hat J_-</math>, si capisce che deve essere:
 
:<math>\hat J_+ |a,b_{max} \rangle = 0</math>
Ora applichiamo
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |a,b_{max} \rangle = (\hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z) |a, b_{max} \rangle = b_{max}^{2} \hbar + b_{max} \hbar|a,b_{max} \rangle</math>
 
cioè:
:<math>a = (b_{max}^{2} + b_{max}) \hbar^2 = \hbar^2 b_{max} (b_{max} + 1)</math>
 
Quindi l'autovalore di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> è <math>\hbar^2 a(a + 1)</math>, dove ''a'' deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:
 
:<math>-a \le b \le a</math>
 
e anche qui ''b'' deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di ''b'' sono distanti <math>\hbar</math> uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di <math>\hbar</math>), dove se ''k'' è intero, fissato ''a'', vi sono (2k+1) valori di ''b'', cioè <math>b = \{-a, -a+1, \dots , a - 1, a \}</math> per cui se ''a'' è intero lo è anche ''b'' e se ''a'' è semintero, lo è anche ''b''. Si può dimostrare che gli autovalori ''a'' sono interi e quindi anche ''b'' sono interi: con questa scelta otteniamo infine per gli autovalori di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m_j \rangle</math>
 
e per gli autovalori di <math>\hat J_z</math>
 
== Elementi di matrice ==
Vediamo come sono fatti esplicitamente le matrici dei momenti angolari. Assumiamo che i momenti angolari siano calcolati sugli autostati <math>|j,j_m \rangle</math> già normalizzati, allora in questa base di autostati sia <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> sia <math>\hat J_z</math> sono diagonali:
 
:<math>\langle j', m'_j | \hat {\mathbf{J}}^2 |j, m_j \rangle = j (j+1) \hbar^2 \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}</math>
 
:<math>\langle j', m'_j | \hat J_z |j, m_j \rangle = m_j \hbar \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}</math>
dove <math>c_+</math> è un coefficiente. Utilizzando l'espressione:
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z</math>
 
ricaviamo l'espressione di <math>\hat J_+</math> e di <math>\hat J_-</math> e calcoliamo:
 
:<math>\hat J_{+}^{\dagger} \hat J_+ = \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} - \hbar \hat J_z </math>
 
:<math>\hat J_{-}^{\dagger} \hat J_- = \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} + \hbar \hat J_z </math>
 
e quindi per <math>\hat J_+</math>: