Matrice S: differenze tra le versioni
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{{nota disambigua|la matrice di scattering nel campo delle [[microonde]]|[[parametri s]]}}
{{C|confusa|fisica|ottobre 2007|firma=[[Utente:Wiso|wiso]] 21:31, 24 ott 2007 (CEST)}}
All'interno della [[teoria quantistica dei campi]] i problemi di [[scattering]] (ovvero degli urti fra particelle) non possono essere trattati in maniera esatta se non in alcuni casi semplici. Uno degli approcci più usati è invece quello di supporre che gli stati iniziali e finali in cui si trova il [[sistema (fisica)|sistema]] siano [[autostato|autostati]] dell'[[hamiltoniana]] libera (ovvero la parte dell'hamiltoniana che non contiene i termini che descrivono l'interazione fra le particelle). Lo stato iniziale è supposto nel passato remoto e lo stato finale nel futuro remoto
:<math>
L'ampiezza di probabilità di osservare un processo di scattering con uno stato iniziale <math>|a\rangle</math> e come stato finale <math>|b\rangle</math> è data, per definizione, da:
:<math>prob.(a\to b)\equiv \,_{out}\langle b|a\rangle_{in}=\,_{out}\langle b|S|a\rangle_{out}
=\,_{in}\langle b|S|a\rangle_{in}\equiv S_{ba}</math>
Ogni elemento di matrice S, sia nella base "in" che nella base "out", rappresenta quindi l'ampiezza di probabilità di un processo fisico. Si noti che gli stati ''a'' e ''b'' sono gli stati ideali definiti in assenza di interazione, cioè gli stati asintotici.
Notiamo che i vettori che identificano lo stato di vuoto e gli stati di singola particella sono gli stessi in entrambe le basi, ovvero gli elementi di matrice S sono, al più, delle fasi che possono essere poste ad 1 con un'opportuna scelta della fase dei vettori di base.
== Calcolo della matrice S ==▼
== Calcolo della matrice S: serie di Dyson ==
L'hamiltoniana che descrive un sistema può essere divisa in una parte non interagente <math>\hat{H}^0</math>, che non contiene i termini di interazione fra le particelle ma ne descrive solo il moto libero, ed una hamiltoniana di interazione <math>\hat{H}^I</math>.
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Questo non è altro che uno [[sviluppo di Dyson]] della matrice <math>S</math>. La matrice di scattering viene calcolata ai vari ordini (ovvero proseguendo la sommatoria fino ad un dato ordine) tramite il [[teorema di Wick]].
▲== Calcolo della matrice S: formule LSZ ==
{{vedi anche|Formule di riduzione LSZ}}
Un modo alternativo di estrarre gli elementi di matrice S dalla teoria, più sofisticata e usata in particolare nella [[meccanica quantistica relativistica]], non fa uso della serie di Dyson, bensì sfrutta le [[funzione di Green|funzioni di Green]] fornite dalla formulazione con integrali funzionali della teoria. Si consideri ad esempio una teoria di particelle scalari <math>\phi</math> di massa ''m'', con un'azione:
:<math>\mathcal{S}[\phi]=\int \text{d}^4 x \frac{1}{2}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi -m^2\phi^2 \right) - V(\phi)</math>
dove <math>V(\phi)</math> può essere, ad esempio, un termine di interazione <math>\lambda\phi^4</math>, che al momento non è necessario specificare.
Le funzioni di Green a ''n'' punti sono definite come i valori di aspettazione sul vuoto del prodotto tempo-ordinato di ''n'' campi:
:<math>G^{(n)}(x_1,x_2,\dots,x_n)\equiv \langle 0 |T \left( \phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n) \right) |0\rangle=
\frac{\int \mathcal{D}\phi \,\phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n)\,e^{i\mathcal{S}}}{\int \mathcal{D}\phi \,e^{i\mathcal{S}}}\,.</math>
Esse sono calcolabili perturbativamente attraverso il già citato [[teorema di Wick]]. Si dimostra che le [[trasformata di Fourier|trasformate di Fourier]] delle funzioni di Green hanno dei poli in corrispondenza delle masse fisiche delle particelle, ovvero quando <math>p_i^2=m^2</math>. A questi poli corrispondono proprio gli stati asintotici delle teoria: infatti questi stati sono creati e distrutti dai campi "in" ed "out", che soddisfano l'[[equazione di Klein-Gordon]]:
:<math>(\Box_x + m^2 ) \phi_{in}(x)=(\Box_x + m^2 ) \phi_{out}(x)=0\,,</math>
che differisce dalle corrette equazioni del moto per l'assenza del potenziale di interazione. Di conseguenza, in modo intuitivo, è necessario estrarre il contributo polare delle funzioni di Green per ottenere le funzioni di Green costruite con i campi asintotici, che generano proprio gli elementi di matrice S desiderati. Se nello stato iniziale sono presenti ''m'' particelle di impulsi ''q<sub>1</sub>'',...,''q<sub>m</sub>'' e nello stato finale sono presenti ''n'' particelle di impulsi ''p<sub>1</sub>'',...,''p<sub>n</sub>'', la formula che descrive il procedimento è data da:
:<math>
\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{out}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{in}\rangle=\int
\prod_{i=1}^{m}
\left\{
\mathrm{d}^4x_i\
i\frac{e^{-iq_i\cdot x_i}}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(\Box_{x_i}+m^2\right)
\right\}\times
</math>
:<math>
\times
\prod_{j=1}^{n}
\left\{
\mathrm{d}^4y_j\
i\frac{e^{+ip_j\cdot y_j}}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(\Box_{y_j}+m^2\right)
\right\}
G^{(n+m)}(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)
</math>
Il processo di estrazione del polo è più evidente se la formula è scritta in termini della trasformata di Fourier della funzione di Green. A parte la moltiplicazione per alcune costanti (tra cui le [[costante di rinormalizzazione|costanti di rinormalizzazione]] dei campi ''Z'') la formula mostra che basta moltiplicare la funzione di Green per dei fattori <math>p^2-m^2</math>, che eliminano i poli, e poi mandare ''on-shell'' gli impulsi, ovvero eseguire il limite <math>p^2\to m^2</math> corrispondente alle particelle fisiche:
:<math>
\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{out}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{in}\rangle=
\prod_{i=1}^{m}
\left\{
\frac{-i}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(p_i^2-m^2\right)
\right\}\times
</math>
:<math>
\times
\prod_{j=1}^{n}
\left\{
\frac{-i}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
\left(q_i^2-m^2\right)
\right\}
\tilde{G}^{(n+m)}(p_1,\ldots,p_n;-q_1,\ldots,-q_m)
</math>
== La sezione d'urto ==
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