Raggio di convergenza: differenze tra le versioni

Si può dimostrare<ref>{{cita|Maderna|pagg. 96; 102-103.}}</ref> che, se <math>rR</math> è il raggio di convergenza della serie <math>S</math>:

# Se <math>rR = 0\,</math>, <math>S</math> converge solo nell'origine;

# Se <math>0 < rR < + \infty</math>, <math>S</math> [[convergenza assoluta|converge assolutamente]] sul cerchio aperto <math>B = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < rR \}</math> e [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] in ogni [[insieme compatto]] incluso in <math>B</math>, mentre non converge in <math>z</math> se <math>|z| > rR\,</math>;

# Se <math>rR = +\infty</math>, <math>S</math> converge assolutamente sull'intero [[piano complesso]], e uniformemente su ogni suo sottoinsieme compatto.

La sola conoscenza del raggio di convergenza, quindi, determina quasi tutte le informazioni sulla convergenza della serie; tuttavia, la conoscenza di <math>rR</math> non basta per conoscere il comportamento della serie sulla circonferenza <math>\delta B = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = rR \}</math>; esistono infatti serie che hanno il medesimo raggio di convergenza, ma comportamento diverso sull'insieme <math>\delta B</math>.

ha raggio di convergenza <math>rR = 1</math>, e converge sull'[[insieme aperto]] <math>E = (-1,1)</math>. La convergenza è [[convergenza assoluta|assoluta]] su tutto l'insieme.

ha raggio di convergenza <math>rR = 1</math>, e converge sull'insieme <math>E = [-1,1)</math> (si può verificare la convergenza in <math>x=-1</math> tramite il [[criterio di Leibniz]]). La convergenza in <math>x=-1</math> non è assoluta, mentre lo è all'interno di <math>E</math>.

ha raggio di convergenza <math>rR = 1</math>, e converge sull'[[insieme chiuso]] <math>E = [-1,1]</math>. La convergenza è assoluta su tutto l'insieme.