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Funzione integrabile: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|aprile 2011}}
In [[matematica]], una '''funzione integrabile''' o '''funzione sommabile''' rispetto ad un dato operatore [[integrale]] è una [[funzione (matematica)|funzione]] il cui integrale esiste ed il suo valore è finito.
In [[matematica]], una [[funzione (matematica)|funzione]] si dice '''integrabile''' se il suo [[integrale]] esiste ed è finito. Data la non univocità del concetto di integrale, tale definizione non è di per sé autonoma, in quanto si deve specificare quale ''tipo'' di integrale essa possieda. Generalmente, data la maggior diffusione di questo integrale rispetto agli altri, per funzione integrabile si intende integrabile "secondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]".
 
La definizione dipende quindi da quale operatore integrale si utilizza; tuttavia, data la maggior diffusione e generalità dell'[[integrale di Lebesgue]] rispetto agli altri, per funzione integrabile si intende integrabile secondo [[Henri Lebesgue|Lebesgue]].
Si usa a volte anche la definizione '''funzione sommabile'''; nella maggior parte dei casi i due termini sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste, ma può anche essere infinito.▼
 
▲Si usa a volte anche la definizione '''funzione sommabile'''; nellaNella maggior parte dei casi i due termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste, mae può anche essere infinito.
 
==Definizione rigorosa==
 
{{vedi anche|Integrale di Riemann|Integrale di Lebesgue}}▼
RiportiamoNel perseguito comoditàsi espongono le definizioni dei due integrali più usati:, l'[[integrale di Riemann]] e l'[[integrale di Lebesgue]].
 
===Integrale di Riemann===
{{vedi anche|Integrale di Riemann}}
Una funzione <math>f:[a,b]\to \R</math> [[funzione limitata|limitata]] si dice '''integrabile secondo Riemann''' se esiste finito il limite:
:<math>\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\int_a^b f(x)dx</math>,▼
 
dove <math>P=\{x_1...,x_n\}</math> è una arbitraria [[partizione di un intervallo|partizione]] dell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> con ''mesh'' minore di <math>\delta</math>, <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> e
:<math>\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\sum_{i=1}int_a^nb f(t_i)(x_i-x_{i-1}x)dx</math>.
 
Il limite deve essere inteso nel seguente modo:
:per ognidove <math>P=\epsilon > 0{x_1...,x_n\}</math> esisteè ununa <math>\deltaarbitraria >[[partizione 0</math>di taleun cheintervallo|partizione]] perdell'[[intervallo ogni partizione di(matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> con ''mesh'' minore di <math>\delta</math> e per ogni scelta dei relativi punti, <math>t_i \in [x_{i-1},x_i]</math> valee:
 
▲:<math>\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\int_asum_{i=1}^bn f(xt_i)(x_i-x_{i-1})dx</math>,
Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni <math>\epsilon > 0</math> esiste un <math>\delta > 0</math> tale che per ogni partizione di <math>[a,b]</math> con mesh minore di <math>\delta</math> e per ogni scelta dei relativi punti <math>t_i</math> vale:
 
:<math>\left|\int_a^b f(x)dx - S(f,P,\{t_i\})\right| < \varepsilon</math>
 
===Integrale di Lebesgue===
▲{{vedi anche|Integrale di Riemann|Integrale di Lebesgue}}
*Dato uno [[spazio di misura]] <math>(X,\mathcal A,\mu)</math>, per una [[funzione semplice]] <math>s:X \to \R, s(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)</math> si definisce l'integrale di Lebesgue come▼
 
:<math>s:X \to \int_XR, s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k {\mu(mathbf 1}_{A_k}(x)</math>.▼
 
si definisce l'integrale di Lebesgue come:
 
:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu :=:\int_Xsum_{k=1}^n a_k f\mu(xA_k)d\mu </math>,▼
 
*Una funzione <math>f:X\to \R</math> non negativa si dice '''integrabile secondo Lebesgue''' se esiste finito l'[[estremo superiore]]:▼
 
:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu </math>
 
▲*Dato uno [[spazio di misura]] <math>(X,\mathcal A,\mu)</math>, per una [[funzione semplice]] <math>s:X \to \R, s(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)</math> si definisce l'integrale di Lebesgue come
▲:<math>\int_X s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k)</math>.
▲*Una funzione <math>f:X\to \R</math> non negativa si dice '''integrabile secondo Lebesgue''' se esiste finito l'[[estremo superiore]]
▲:<math>\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu </math>,
dove <math>s</math> è una arbitraria funzione semplice tale che <math>s \le f</math>.
 
*UnaIn funzionegenerale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:
 
:<math> f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{se} \quad f(x) \geq 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right. </math>
:<math> f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{se} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right. </math>,
 
che sono rispettivamente la [[parte positiva e parte negativa di una funzione|"parte positiva" e "parte negativa"]] di <math>f</math>. Si definisce in tal caso
 
Si definisce in tal caso:
 
:<math>\int_X f(x)d\mu :=\int_X f^+(x)d\mu - \int_X f^-(x)d\mu \,</math>.
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_integrabile"