Differenze tra le versioni di "Teorema di Sylvester-Gallai"

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ILIl '''Teorema di Sylvester–Gallai''' asserisceafferma che dato un numero [[finito]] superiore a 2 di punti in un [[piano]], allora
 
# auto tutti i punti sono allineati;
# auto esiste una [[retta]] che contiene esattamente due dei punti.
 
Questo enunciato fu postoproposto come congetturaproblema da [[James Joseph Sylvester]] nel [[1893]] e dimostrato da [[Tibor Gallai]] nel [[1944]]. Una variante qualitativa del teorema è il [[teorema di Beck]]. Il teorema di Sylvester-Gallai non è vero per un insieme di [[infiniti]] punti: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme <math>{\Bbb Z} \times {\Bbb Z}</math>; un controesempio più ridotto da <math>{\Bbb N} \times {\Bbb N}</math>.
 
== Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai ==
 
Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione ''l'' ed un punto ''P'' in ''S'' - ''l'' e abbiamo trovato che aut ''l'' contiene esattamente due punti aut esistono un'altra retta di connessione ''m'' ed un punto ''B'' in ''S'' - ''m'' tali che la distanza fra ''B'' e ''m'' è minore della distanza fra ''P'' ed ''l''. Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo ''P'' ed ''l'' con ''B'' ed ''m''. Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché il numero di distanze positive possibili fra i punti e le rette di connessione è finito, dato che S è finito. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti. [[QDD]]
 
== Generalizzazioni del teorema di Sylvester-Gallai ==
 
Mentre il teorema di Sylvester-Gallai garantisce l'esistenza di almeno una retta contenente esattamente 2 punti, non è ancora stata trovata alcuna disposizione di punti con esattamente una retta contenente solo due punti. Ciò portò [[Gabriel Andrew Dirac]] a congetturare che, per qualsiasi insieme di <math>n</math> punti, non tutti allineati, esistono almeno <math>n/2</math> rette conteneti esattamente due punti. Attualmente, sono noti due controesempi alla congettura di Dirac: il [[piano di Fano]] (7 punti) e la configurazione di McKee (13 punti). Nel [[1993]] Csima e Sawyer hanno dimostrato una versione più debole della congettura di Dirac, che afferma che almeno <math>\lceil \frac{6n}{13} \rceil</math> rette contengono esattamente due punti.
 
== Curiosità ==
 
Il problema di Sylvester è stato proposto tra i quesiti del test d'ammissione alla [[Scuola Normale Superiore]] per l'anno accademico 2004-2005.
 
== Collegamenti esterni ==
*[http://mathworld.wolfram.com/SylvestersLineProblem.html Sylvester's Line Problems] su [[MathWorld]].
 
== Bibliografia ==
 
*Coxeter, H. S. M., ''Introduction to Geometry'', 2nd ed., paragrafi 4.7 e 12.3, New York, Wiley, 1969.
 
[[Categoria:Geometria discreta]]