Funzione speciale: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] sono chiamate '''funzioni speciali''' delle specifiche [[funzione (matematica)|funzioni]] di variabili [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complesse]] a valori reali o complessi che hanno proprietà che le rendono utili in diverse applicazioni<ref>{{springer|id=S/s086280|title=Special functions|author=Yu.A. Brychkov, A.P. Prudnikov}}</ref> e che rendono opportuno il loro studio sistematico, soprattutto per quanto riguarda le loro applicazioni computazionali e le loro connessioni con altre funzioni, equazioni differenziali e di altri generi e altre strutture non necessariamente continue.
Esempi di funzioni speciali sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] e le [[funzione di Bessel|funzioni di Bessel]]. Non esiste una teoria unitaria delle funzioni speciali: accade invece che alcune loro proprietà sono studiate nell'ambito di discipline matematiche di ampia portata come l'[[analisi matematica]], l'[[analisi funzionale]] e la teoria delle [[funzione olomorfa|funzioni olomorfe]], altre sono inquadrate da teorie che considerano famiglie abbastanza ampie di funzioni ma caratterizzate di proprietà relativamente specifiche, come il [[calcolo umbrale]] o la teoria delle rappresentazioni dei [[gruppo di Lie|gruppi di Lie]], altre ancora sono esaminate a partire da proprietà peculiari, ad esempio a partire da determinate [[equazione differenziale ordinaria|equazioni differenziali ordinarie]]. Nonostante questa mancanza di ''unitarietà'' ma in considerazione dell'importanza dell'argomento, la [[classificazione delle ricerche matematiche|classificazione MSC2000]] prevede un codice primario ([[33-XX]]) per le ricerche in questo settore.
Mentre la [[trigonometria]] e le relative funzioni sono solidamente codificate, come è risultato chiaro agli esperti di matematica fin dal [[XVIII secolo]] (se non da prima), la ricerca di teorie complete e unificanti per le funzioni speciali è continuata fin dal [[XIX secolo]]. Un periodo di importanti risultati si è avuto tra il 1850 e il 1900 con lo sviluppo della teoria delle [[funzione ellittica|funzioni ellittiche]]; hanno potuto essere pubblicati trattati sostanzialmente completi <!-- , come quello di [[Tannery and Molk]],--> costituenti manuali con tutte le identità di base soddisfatte da queste funzioni. Questa teoria si basava sulle tecniche dell'[[analisi complessa]] e da allora la teoria delle [[funzione analitica|funzioni analitiche]], che già aveva consentito di unificare funzioni trigonometriche e [[funzione esponenziale]], è stata riconosciuta come strumento fondamentale. Verso la fine del XIX secolo si è inoltre sviluppata un'ampia discussione delle [[armoniche sferiche]].
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Questi aspetti si contrappongono agli approcci tipici della [[matematica pura]]: [[analisi asintotica]], [[continuazione analitica]] e [[monodromia]] nel [[piano complesso]], e scoperta di proprietà di [[simmetria (matematica)|simmetria]] e di altre strutture sotto la facciata delle numerose formule specifiche che si erano individuate. Tra i due tipi di approcci comunque non si ha un reale conflitto.
La teoria delle funzioni speciali nel [[XX secolo]] ha visto lo sviluppo di molti nuovi punti di vista. Nel classico testo ''A Course of Modern Analysis'' di [[E. T. Whittaker |Edmund Taylor Whittaker]] e [[George Neville Watson]], noto come il [[Whittaker e Watson]], costituisce una esposizione unitaria della teoria mediante le variabili complesse. Il volume di [[George Neville Watson]] ''The theory of Bessel functions'', del [[1922]], ha spinto molto avanti le tecniche concernenti gli sviluppi asintotici per un'importante classe di funzioni
In [[teoria dei numeri]] sono state studiate tradizionalmente alcune funzioni speciali, come particolari [[serie di Dirichlet]] e [[forma modulare|forme modulari]]. In esse sono rispecchiati quasi tutti gli aspetti della teoria delle funzioni speciali e in particolare alcuni piuttosto recenti emersi dalla teoria del cosiddetto [[monstrous moonshine]].
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