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Numero di Smith: differenze tra le versioni

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Un [[numero intero]] è detto '''numero di Smith''' relativamente a una data [[Sistema di numerazione|base]]se è un numero intero, positivo non primo che soddisfa la seguente condizione:e, scritto nella [[Base (aritmetica)|base considerata]], la somma delle relative cifre è uguale alla somma delle cifre nella relativa [[fattorizzazione]] (nel caso dei numeri che non sono liberi di quadrati, la scomposizione si vuole scritta senza esponenti, con ciascun fattore ripetuto il numero di volte necessario).

Due esempi di numeri di Smith sono: 202, poiché 2 + 0 + 2 = 4 e la relativa scomposizione in fattori è 2 × 101, e 2 + 1 + 0 + 1 = 4;, oppure 729, poiché 7 + 2 + 9 = 18 e, dato che la relativasua scomposizione in fattori è 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3, ela somma dei suoi fattori è 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18.
 
I numeri primi sono esclusi dall'insieme dei numeri di Smith, poiché è evidente che tutti soddisfano banalmente la condizione richiesta.
 
Nella base 10, i primi numeri di Smith sono: ▼
Sono stati chiamati in questo modo per la prima volta nel 1982 da [[Albert Wilansky]], poiché aveva scoperto che suo cognato H. Smith aveva come numero di telefono 493-7775 (per l'appunto un numero di Smith!). Tale numero nel 1982 era un record.▼
:[[Quattro|4]], [[Ventidue|22]], [[Ventisette|27]], [[Cinquantotto|58]], [[Ottantacinque|85]],   [[Novantaquattro|94]], 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378,   382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, ... {{OEIS|A006753}}▼
ed esistono 29 928 numeri di Smith inferiori a 1 000 000
== Storia ==
▲Sono stati chiamati in questo modo per la prima volta nel 1982 da [[Albert Wilansky]], poiché aveva scoperto che suo cognato H. Smith aveva come numero di telefono 493-7775 (per l'appunto un numero di Smith!). {{Chiarire|Tale numero nel 1982 era un record.}}
 
== Metodi per la generazione di numeri di Smith ==
Nel 1983 su Mathematics Magazine apparve un metodo per generarli: se ''p'' è un numero primo costituito da tutte cifre 1, quindi è un numero palindromo(chiamato [[repunit,]]) allora un numero di Smith si ottiene con {{tutto attaccato|3304* × ''p''.}} Successivamente si è scoperto che oltre a 3304 si può anche usare 1540* × ''p. Infatti'' infatti 1540 x 11 = 16 940 è un numero di Smith:
 
:1 + 6 + 9 + 4 + 0 = 2 + 2 + 5 + 7 + (1 + 1) + (1 + 1) = 20▼
1.540 x 11 = 16.940 è un numero di Smith.
 
Ma 1540 e 3304 non èsono gli l’unicounici numeronumeri che si puòpossono usare, ne esistono molti altri, ad esempio:▼
▲1 + 6 + 9 + 4 + 0 = 2 + 2 + 5 + 7 + (1 + 1) + (1 + 1) = 20
1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, {{tutto attaccato|23 590}}, {{tutto attaccato|24 490}}, {{tutto attaccato|25 228}}, {{tutto attaccato|29 080}}, {{tutto attaccato|31 528}}, {{tutto attaccato|31 780}}, {{tutto attaccato|33 544}}, {{tutto attaccato|34 390}}, {{tutto attaccato|35 380}}.
 
Nel 1984, PatPatrick Costello generò numeri di Smith con la formula ''p*'' × ''q*'' × 10^<sup>''M''</sup> dove ''p'' è un piccolo primo e&nbsp; ''q'' è un [[numero primo di Mersenne noto]]. Il Comenumero si''M'' deve scegliereessere Mscelto nellanel formulaseguente p*q*10^M? Un metodo è il seguentemodo:▼
▲Ma 1540 non è l’unico numero che si può usare, ne esistono molti altri, ad esempio:
a)# Si sceglie ilun numero primo di Mersenne e si calcola la somma dei suoi digit''q''▼
1.720, 2.170, 2.440, 5.590, 6.040, 7.930, 8.344, 8.470, 8.920, 23.590, 24.490, 25.228, 29.080, 31.528, 31.780, 33.544, 34.390, 35.380.
b)# Si sceglie un piccolo numero primo piccolo ''p'' e si fanno i seguenti passi:▼
b1)## si calcola ''ps'' = somma deidelle digitcifre di&nbsp; ''q'' + la somma deidelle digitcifre di ''p'';▼
b2)## si calcola il prodotto ''p*'' × ''q'';▼
b3)## si calcola ''ds'' = somama deidelle digitcifre di ''p*'' × ''q'';▼
# ora se
#* se ''ds''<''ps'', si torna aal passo b)2 e si sceglisceglie un nuovo ''p'';▼
#* se ''ds'' = ''ps'', allora ''p*'' × ''q'' è un numero di Smith;▼
#* se ''ds''>''ps'', allora si calcola (''ds''-''ps'') mod 7;▼
#* se (''ds''-''ps'') modè 7divisibile =per 07 allora ''M ''= (''ds''-''ps'')/7 e ''p*'' × ''q*'' × 10^<sup>M</sup> è un numero di Smith▼
#* altrimenti si torna aal passo b)2 e si sceglie un nuovo ''p''.▼
 
Se per esempio scegliamo il numero primo di Mersenne ''q'' = 2<sup>17-1</sup> = 131 071 e il numero primo ''p'' = 5011 abbiamo che:
▲Nel 1984, Pat Costello generò numeri di Smith con la formula p*q*10^M dove p è un piccolo primo e&nbsp;q è un numero primo di Mersenne noto. Come si deve scegliere M nella formula p*q*10^M? Un metodo è il seguente:
:<math>ps=(1+3+1+0+7+1)+(5+0+1+1)=20, \,\!</math>
▲ a) Si sceglie il numero primo di Mersenne e si calcola la somma dei suoi digit
il prodotto tra ''p'' e ''q'' è uguale a
▲ b) Si un numero primo piccolo p e si fanno i seguenti passi:
:<math>131\,071 \times 5011=65\,679\,6781, \,\!</math>
▲ b1) si calcola ps = somma dei digit di&nbsp;q + la somma dei digit di p;
la somma delle cifre di ''p'' × ''q'' è
▲ b2) si calcola il prodotto p*q;
:<math>ds=6+5+6+7+9+6+7+8+1=55. \,\!</math>
▲ b3) si calcola ds = somama dei digit di p*q;
Ora dato che ''ds'' è maggiore di ''ps'' possiamo calcolare la loro differenza:
▲ se ds<ps, si torna a b) e si scegli un nuovo p;
:<math>ds-ps=35 \,\!</math>
▲ se ds=ps, allora p*q è un numero di Smith;
e, visto che 35 è divisibile per 7, il coefficiente ''M'' sarà uguale a:
▲ se ds>ps, allora si calcola (ds-ps) mod 7;
:<math>M=35/7=5 \,\!</math>
▲ se (ds-ps) mod 7 = 0 allora M = (ds-ps)/7 e p*q*10^M è un numero di Smith
ora possiamo calcolare il numero di Smith:
▲ altrimenti si torna a b) e si sceglie un nuovo p.
:<math>p\times q\times 10^5=65\,679\,678\,100\,000 \,\!</math>
Esempio:
Scegliamo&nbsp;q = 2^17-1 = 131071 scegliamo p = 5011.
ps = 20.
p*q = 656796781.
ds = 55.
ds-ps = 35 divisibile per 7 per cui M=35/7=5.
p*q*10^5 = 65679678100000 è un numero di Smith secondo la definizione iniziale
Costello individuò 65 numeri di Smith in questo modo, incluso uno da record: 191 × (2<sup>216091-1</sup>) × 10<sup>266</sup> con 65 319 cifre decimali.
191*(2^216091-1)*10^266 con 65319 digit.
 
McDaniel[[W. L. McDaniel]] generò i numeri di Smith della forma ''t*9Rn*'' × 9 × ''Rn'' × 10^<sup>''M''</sup> dove&nbsp; ''t'' è nell'insieme {2, 3, 4, 5, 7, 8, 15}, con ''Rn'' repunit primo.▼
Nel 1987, [[W. L. McDaniel]] generalizzò il concetto di numeri di Smith e introdusse i k-Smith numbers e provò che sono infiniti. Con k=1 ci si riduce ai numeri di Smith, allora anche i numeri di Smith sono infiniti.<ref>{{Cita pubblicazione | cognome = McDaniel | nome = Wayne | titolo = The existence of infinitely many k-Smith numbers | rivista = [[Fibonacci Quarterly]] | volume = 25 | numero = 1 | pagine = 76-80 | data = 1987}}</ref>▼
 
▲McDaniel generò i numeri di Smith della forma t*9Rn*10^M dove&nbsp;t è nell'insieme {2, 3, 4, 5, 7, 8, 15}, con Rn repunit primo.
 
Si suppone però che esistono molte altre forme generatrici di numeri di Smith.
 
== Altri numeri di Smith ==
Anche tra i palindromi esistono numeri di Smith come 1234554321; mentre esistono anche i numeri fratelli Smith, cioè successivi, come 728 e 729, i Fibonacci Smith ecc.<ref>{{Cita pubblicazione | cognome = Pickover | nome = Clifford | titolo = Le meraviglie dei numeri}}</ref>▼
▲Nel 1987, [[W. L. McDaniel]] generalizzò il concetto di numeri di Smith e introdusse i ''k''-Smith numbers e provò che sono infiniti. Con ''k'' = 1 ci si riduce ai numeri di Smith, allora anche i numeri di Smith sono infiniti.<ref>{{Cita pubblicazione | cognome = McDaniel | nome = Wayne | titolo = The existence of infinitely many k-Smith numbers | rivista = [[Fibonacci Quarterly]] | volume = 25 | numero = 1 | pagine = 76-80 | data = 1987}}</ref>
 
▲Nella base 10, i primi numeri di Smith sono:
▲[[Quattro|4]], [[Ventidue|22]], [[Ventisette|27]], [[Cinquantotto|58]], [[Ottantacinque|85]], &nbsp; [[Novantaquattro|94]], 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, &nbsp; 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, ... {{OEIS|A006753}}
 
▲AncheEsistono tra i palindromi esistonodei numeri di Smith comeche 1234554321;possiedono mentreanche esistonocaratteristiche anchedi altri tipi di numeri come i numeri fratelli Smith, cioè successivi, come 728 e 729, i [[Numero di Fibonacci|Fibonacci]] Smith eccoppure i numeri di Smith palindromi come il numero 1 234 554 321.<ref>{{Cita pubblicazione | cognome = Pickover | nome = Clifford | titolo = Le meraviglie dei numeri}}</ref>
Nell'intervallo [1:1000000] si trovano 29928 numeri di Smith (Vedi [1]).
 
== Note ==
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==Collegamenti esterni==
* {{Mathworld|SmithNumber.html|Voce}}
 
{{Portale|matematica}}
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Smith"