Differenze tra le versioni di "Funzioni di più variabili complesse"

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Uno tra i primi teoremi di questa branca dell'[[analisi matematica]], fu il [[Teorema di preparazione di Weierstrass]], che mette in luce il comportamento di una funzione di più variabili complesse attorno a un suo zero, ed ha implicazioni in vari ambiti della matematica, e mostra che tali funzioni non hanno zeri isolati, al contrario di quanto accade in analisi complessa.
 
Negli anni 30, cominciò ad emergere una teoria generale, grazie soprattutto all'opera di [[Friedrich Hartogs]] e [[Kiyoshi Oka]], e agli importanti contributi di altri matematici quali [[Heinrich Behnke]], [[Renato Caccioppoli]]<ref> Giuseppe Scorza Dragoni:''Renato Caccioppoli e la Teoria delle Funzioni di due o più variabili complesse'' in ''Il pensiero matematico del XX secolo e l'opera di Renato Caccioppoli'', Napoli 1989</ref>, [[Karl Stein]] e [[Peter Thullen]].
 
Ad Hartogs sono dovuti alcuni risultati basilari, tra cui il [[teorema di Hartogs|teorema]] che afferma che le funzioni analitiche in più variabili sono esattamente quelle che sono analitiche in ciascuna variabili separatamente, e la dimostrazione che le funzioni in più variabili complesse non hanno [[singolarità isolata|singolarità isolate]], contrariamente a quanto accade per ''n''&nbsp;=&nbsp;1. Questo risultato, unito al fatto che per ''n''&nbsp;>&nbsp;1 gli integrali di contorno sono integrali su [[Varietà (geometria)|varietà]] 2''n''&nbsp;-&nbsp;1 dimensionali (essendo <math>\C^2</math> uno spazio quattro-dimensionale sui [[numero reale|<math>\R</math>]]), fa sì che il [[calcolo dei residui]] sia estremamente più complicato rispetto al caso dell'analisi complessa, nella cui teoria il [[teorema dei residui]] svolge un ruolo fondamentale.
 
Dopo il [[1945]] la situazione cambiò radicalmente a seguito di importanti risultati ottenuti in Francia, nell'ambito dei ''Seminari [[Henri Cartan]]'', e in Germania grazie ai lavori di [[Hans Grauert]] e [[Reinhold Remmert]]. Molti problemi vennero chiariti, in particolare quello della [[continuazione analitica]], in cui risulta particolarmente evidente la differenza con la teoria per funzioni di una variabile. Infatti, mentre per ogni sottoinsieme [[Insieme aperto|aperto]] e [[spazio connesso|connesso]] di <math>\C</math> si può trovare una funzione che non sia prolungabile con continuità in una funzione analitica sulla frontiera, non è detto che questo risultato valga per ''n'' > 1. In effetti, gli insiemi che godono di questa proprietà sono piuttosto speciali, e vengono detti [[insieme pseudoconvesso|insiemi pseudoconvessi]]. Essi vennero introdotti da [[Eugenio Elia Levi]] nel 1910.<ref>Si veda ad esempio {{cita pubblicazione | cognome=Villani | nome=Vinicio| titolo= Su una classe di domini di olomorfia approssimabili dall'esterno| rivista=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa | volume=14 | numero=4 | data= [[1960]] | pagine=349-361| url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1960_3_14_4_349_0 | accesso=4 ottobre 2011 }} a pagina 253.}</ref> .
 
{{chiarire|I domini su cui è più naturale definire una funzione prolungabile continuamente fino al bordo sono chiamati ''[[Varietà di Stein]]'' e sono caratterizzati dal rendere nulli i gruppi della [[coomologia dei fasci]]. Venne così risolta la necessità di chiarire le basi del lavoro di Oka e di giungere ad un utilizzo coerente dei [[Fascio_Fascio (teoria_delle_categorieteoria delle categorie)|fasci]] per la formulazione della teoria. Questo, grazie soprattutto ai lavori di Grauert, ha avuto importanti ripercussioni nel campo della [[Geometria algebrica]].}}
 
In seguito a questi lavori, si ebbe a disposizione una teoria fondamentale applicabile alla nuova branca della ''geometria analitica''<ref>Da non confondere con la tradizionale [[geometria analitica]] insegnata nelle scuole</ref> (intesa come geometria degli zeri delle funzioni analitiche), alle [[forma automorfa|forme automorfe]] in più variabili ed alle [[equazioni differenziali alle derivate parziali]]. La [[teoria della deformazione]] di [[strutture complesse]] e [[varietà complesse]] è stata descritta in termini molto generali da [[Kunihiko Kodaira]] e [[Donald C. Spencer]]. Infine, il famoso articolo ''Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique'' (''GAGA''), di [[Jean-Pierre Serre]] ha chiarito le relazioni tra ''geometria analitica'' e ''[[geometria algebrica]]''.
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