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Derivata direzionale: differenze tra le versioni

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== Definizione ==
La derivata direzionale di una funzione scalare:
 
:<math>f(\vecmathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
 
lungo un [[Vettore (matematica)|vettore]] unitario:
 
:<math>\vecmathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n)</math>
 
è la [[Funzione (matematica)|funzione]] definita dal [[Limite di una funzione|limite]]:
 
:<math>D_{\vecmathbf{u}}{f}(\vecmathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(\vecmathbf{x} + h\vecmathbf{u}) - f(\vecmathbf{x})}{h}}.</math>
 
Se la funzione <math>f</math> è differenziabile in <math>\vecmathbf{x}</math>, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario <math>\vecmathbf{u},</math> e si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 219|rudin}}</ref>
 
:<math>D_{\vecmathbf{u}}{f}(\vecmathbf{x}) = \nabla f(\vecmathbf{x}) \cdot \vecmathbf{u}</math>
 
dove <math>\nabla</math> al secondo membro rappresenta il [[gradiente]] e <math>\cdot</math> il [[prodotto scalare]] [[Spazio euclideo|euclideo]]. In ogni punto <math>\vecmathbf{x}</math> la derivata direzionale di <math>f</math> rappresenta intuitivamente la variazione di <math>f</math> lungo <math>\vecmathbf{u}</math> nel punto <math>\vecmathbf{x}</math>.
 
Ad esempio, si consideri una funzione di due variabili <math>f: \Omega \to \mathbb{R}</math> di due variabili, con <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^2</math> un [[insieme aperto]]. In un punto <math>(x_0, y_0) \in \Omega</math>, datoDato un vettore unitario <math>\vecmathbf{u}=(u_1, u_2)</math>, la derivata direzionale rispetto a <math>\vecmathbf{u}</math> di <math>f\;</math> innel punto <math>(x_0, y_0) \;in \Omega</math> è data da:
 
:<math>D_{\vecmathbf{v}} f(x_0,y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t u_1, y_0 + t u_2) - f(x_0,y_0)}{t}</math>
 
la derivata esiste se il limite è finito.
 
== Proprietà e applicazioni pratiche ==
Se <math>f\;</math> è una [[funzione differenziabile]] in un punto <math>(x_0,y_0)\;</math> allora esistono le sue [[Derivata parziale|derivate parziali]] e la derivata direzionale della funzione rispetto al versore '''<math>\mathbf{v'''}</math> nel punto è data dal [[prodotto scalare]] tra il [[gradiente]] della funzione ed il versore stesso:
 
 
<math>D_{\mathbf{v}} f(x_0, y_0) = \langle \nabla f(x_0,y_0) , \mathbf{v} \rangle = \lVert\nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \cos \theta = \lVert \nabla f(x_0,y_0) \rVert \cdot \cos \theta</math>
 
con <math>\theta\;</math> [[angolo]] compreso tra il vettore gradiente e ''' <math>\mathbf{v'''}</math>.
 
Da questa proprietà della derivata direzionale si notasegue che:
 
#* La derivata direzionale assume il valore ''massimo'' se <math>\theta = 0\,\!</math> e quindi il gradiente e ''<math>\mathbf{v''}</math> sono paralleli e concordi;.
#* La derivata direzionale è ''nulla'' se <math>\theta = \frac{\pi}{2} \ \mbox{o}\, \frac{3 \pi}{2}</math>, e quindi il gradiente e ''<math>\mathbf{v''}</math> sono perpendicolari;.
#* La derivata direzionale assume il valore ''minimo'' se <math>\theta = \pi\;</math>, e quindi il gradiente e ''<math>\mathbf{v''}</math> sono paralleli e discordi.
 
La derivata direzionale indica intuitivamente la ''velocità'' di cambiamento della funzione rispetto alla direzione data;. essaEssa èpermette massima nel primodi casospiegare, ead spiegaesempio, la traiettoria dei ruscelli nelle montagne.: Infattiil percorrendogradiente leè perpendicolare al vettore spostamento lungo una [[insieme di livello|curvecurva di livello]] abbiamo una variazione nulla (il gradiente è perpendicolare al vettore spostamento e, la curvaquale di livellodescrive [[topografia|topograficamente]] descrive il luogo dei punti con la stessa [[altitudine]]);. iI ruscelli quindi seguono pertanto la traiettoria di massima pendenza, che è proprio quella perpendicolare alle curve stesse.▼
 
La derivata direzionale calcolata rispetto ad un vettore della [[base canonica]] di <math>\R^n\,\!</math> coincide proprio con la derivata parziale rispetto a quella componente:, infatti:▼
▲La derivata direzionale indica la ''velocità'' di cambiamento della funzione rispetto alla direzione data; essa è massima nel primo caso e spiega la traiettoria dei ruscelli nelle montagne. Infatti percorrendo le [[insieme di livello|curve di livello]] abbiamo una variazione nulla (il gradiente è perpendicolare al vettore spostamento e la curva di livello [[topografia|topograficamente]] descrive il luogo dei punti con la stessa [[altitudine]]); i ruscelli quindi seguono la traiettoria di massima pendenza che è proprio quella perpendicolare alle curve stesse.
 
▲La derivata direzionale calcolata rispetto ad un vettore della [[base canonica]] di <math>\R^n\,\!</math> coincide proprio con la derivata parziale rispetto a quella componente: infatti
:<math>D_{\mathbf{e}_i} f(x)= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t \mathbf{e}_i) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t (0,\ldots,1,\ldots,0)) - f(x)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0,\ldots,x_i +t,\ldots,x_n) - f(x)}{t}</math>
 
cioè la definizione di derivata parziale.
 
== Voci correlateNote ==
<references/>
 
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Principi di analisi matematica | editore= McGraw-Hill | città= Milano | anno= 1991|id=ISBN 8838606471|cid =rudin}}
 
==Voci correlate==
 
* [[Derivata]]
* [[Derivata parziale]]
* [[Funzione differenziabile]]
* [[Gradiente]]
* [[InsiemeMatrice di livellojacobiana]]
* [[Modulo di continuità]]
 
{{Portale|matematica}}
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_direzionale"