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Residuo (analisi complessa): differenze tra le versioni

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m ortografia
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Sia <math>f:\mathbb{C}\backslash\left\{-1\right\}\rightarrow\mathbb{C}</math>, <math>f(z)=\frac{1}{1+z}</math>.
 
PoichèPoiché <math>f</math> è olomorfa intorno a <math>w</math>, per ogni <math>w\ne-1</math>, lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>w</math> è lo sviluppo di Taylor, dunque <math>a_{-1}=0</math> e dunque <math>\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,w)=0</math> se <math>w\ne-1</math>.
 
Lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>-1</math> è <math>\frac{1}{1+z}=\frac{1}{z-(-1)}</math> dunque <math>a_{-1}=1</math> e allora <math>\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,-1)=1</math>.
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<math>\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,\infty)=1</math>.
 
PoichèPoiché <math>f(z)=\frac{z}{1+z}</math> è olomorfa intorno a <math>z_0</math>, per ogni <math>z_0\ne-1</math>, lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>z_0</math> è lo sviluppo di Taylor, dunque <math>a_{-1}=0</math> e dunque <math>\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,z_0)=0</math> se <math>z_0\ne-1</math>, come nel caso precedente.
 
Lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>-1</math> è <math>\frac{z}{1+z}=\frac{1+z-1}{1+z}=1-\frac{1}{1+z}=1+\frac{-1}{z-(-1)}</math> dunque <math>a_{-1}=-1</math> e allora <math>\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,-1)=-1</math>.
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Residuo_(analisi_complessa)"