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== Branche e caratteristiche della teoria dei numeri ==
Nella '''teoria dei numeri elementare''', gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di [[divisibilità]], l'[[algoritmo di Euclide]] per calcolare il [[massimo comune divisore]], la [[fattorizzazione]] di interi in [[numeri primi]], lo studio dei [[numero perfetto|numeri perfetti]] e le [[aritmetica modulare|congruenze]]. Tipiche asserzioni sono il [[piccolo teorema di Fermat]] e il [[teorema di Eulero]] (che è una sua generalizzazione), il [[teorema cinese del resto]] e la [[legge di reciprocità quadratica]]. Vengono indagate le proprietà delle [[funzione moltiplicativa|funzioni moltiplicative]] come la [[funzione di Möbius]] e la [[funzione phi di Eulero|funzione φ di Eulero]]; come pure le [[successione di interi|successioni di interi]] come i [[fattoriale|fattoriali]] e i [[Successione di Fibonacci|numeri di Fibonacci]].
Molti problemi della teoria dei numeri elementare sono eccezionalmente profondi e (allo stato attuale) richiedono nuove idee. Esempi sono:
* Il [[teorema di Matiyasevich]] ha dimostrato che la teoria delle [[equazione diofantea|equazioni diofantee]] è ''indecidibile'' (vedi il [[problemi di Hilbert|decimo problema di Hilbert]]).
La '''[[teoria analitica dei numeri]]''' sfrutta i meccanismi del [[calcolo infinitesimale]] e dell'[[analisi complessa]] per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il [[teorema dei numeri primi]] e la collegata [[ipotesi di Riemann]]. Anche problemi della teoria dei numeri elementare come il [[problema di Waring]] (rappresentare un numero dato come somma di quadrati, cubi, ecc.), la [[congettura dei numeri primi gemelli]] e la [[congettura di Goldbach]] vengono attaccati con metodi analitici. Anche le dimostrazioni di trascendenza delle costanti matematiche, come [[Pi greco|π]] o ''[[e (costante matematica)|e]]'', vengono classificate nella teoria dei numeri analitica. Mentre le affermazioni sui numeri trascendenti sembrerebbero non riguardare i numeri interi, esse studiano in realtà la possibilità di certi numeri di essere rappresentati come radici di un [[polinomio]] a coefficienti interi; i [[numero trascendente|numeri trascendenti]] sono inoltre strettamente collegati all'[[approssimazione Diofantea]], che studia la precisione con cui un dato [[numeri reali|numero reale]] può essere approssimato da un [[numeri razionali|numero razionale]].
Nella '''teoria dei numeri algebrica''', il concetto di numero viene generalizzato a quello di [[numero algebrico]] che è radice di un polinomio a coefficienti interi. Questi domini contengono elementi analoghi agli interi, chiamati [[intero algebrico|interi algebrici]].
In questo ambiente, è possibile che le proprietà familiari dei numeri interi (come l'unicità della fattorizzazione) non siano più verificate. La forza degli strumenti utilizzati -- [[teoria di Galois]], [[coomologia dei campi]], [[teoria dei campi delle classi]], [[rappresentazione di un gruppo|rappresentazioni dei gruppi]] e [[funzioni L]] -- è quella di consentire (almeno in parte) di recuperare l'ordine per questa nuova classe di numeri.
Molti problemi di teoria dei numeri vengono attaccati più facilmente studiandole ''modulo p'' per tutti i numeri primi ''p'' (vedi [[campo finito|campi finiti]]). Questo metodo è chiamato ''localizzazione'' e porta alla costruzione dei [[numero p-adico|numeri p-adici]]; questo settore di studi è chiamato [[analisi locale]] e nasce dalla teoria dei numeri algebrica.
La '''teoria geometrica dei numeri''' incorpora tutte le forme di geometria. Comincia con il [[teorema di Minkowski]] sui punti reticolari negli insiemi [[convesso|convessi]] e lo studio dell'[[impacchettamento delle sfere]]. Viene spesso impiegata anche la [[geometria algebrica]], specialmente la teoria delle [[curva ellittica|curve ellittiche]]. Il famoso [[ultimo teorema di Fermat]] fu dimostrato utilizzando queste tecniche.
Infine, la '''teoria dei numeri computazionale''' studia algoritmi importanti nella teoria dei numeri. Algoritmi efficienti per la [[verifica della primalità]] e la [[fattorizzazione]] di interi hanno importanti applicazioni nella [[crittografia]].
== Storia della teoria dei numeri ==
* Harold Davenport, ''Aritmetica superiore''. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6
* Melvyn B. Nathanson (2000): ''Elementary methods in number theory'', Springer, ISBN 0-387-98912-9
* Kenneth Ireland, Michael Rosen (19902010): ''A Classical Introduction to Modern Number Theory'', 2nd ed., Springer, ISBN 0978-3871-973294419-03094-1
== Voci correlate ==
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