Differenze tra le versioni di "Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy"

m
 
È necessaria quindi una verifica della buona definizione della successione, più precisamente bisogna mostrare (ad esempio tramite
[[induzione]]) che <math>y_k(t) \in J \ \forall t \in I_\delta</math>; il passo base è immediato per come è stato definito <math>J</math>, mentre per il passo induttivo supponiamo <math>y_k \in J \forall t \in J</math>, da cui banalmente <math>(t,y_k(t)) \in I_\delta \times J</math>. Per le ipotesi preliminarmente fatte su <math>f</math> possiamo quindi maggiorare il valore assoluto di <math>f(t,y_k(t))</math> con <math>M</math>. È dunque di immediata verifica che
 
:<math>|y_{k+1}(x) - y_0|= \left|\int_{x_0}^x f(t,y_k(t))\mathrm{d}t\right| \le \left|\int_{x_0}^x |f(t,y_k(t))|\mathrm{d}t \right|
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