Differenze tra le versioni di "Tasso di attualizzazione"

 
Nel seguito si forniscono alcuni dettagli sugli errori di stima e di calcolo del tasso di attualizzazione reale.
Come è noto, i tassi di interesse sono valori numerici troncati/arrotondati ad una certa cifra decimale oppure sono noti con una data incertezza (si pensi alla varianza dell’inflazione attesa); l’errore nella stima di <math> i_{r}</math> nella nostra approssimazione (*) sarà dovuto a due contributi: l’errore di troncamento/arrotondamento <math>\epsilon_{1}</math> e l’errore di approssimazione <math>\epsilon_{2}</math> introdotto nella formula (*) poc'anzi ricavata. Per generalizzare l'analisi introduciamo le seguenti notazioni. Indichiamo con <math>\ \epsilon_{n} </math> la stima dell’errore di arrotondamento nel tasso di interesse nominale e con <math>\ \epsilon_{\pi} </math> la stima dell’errore di arrotondamento nel tasso di inflazione attesa. Rappresenteremo meglio i valori dei tassi nel seguente modo: <math> i_{n}</math> ± <math>\epsilon_{n} </math> e <math> \pi_{e}</math> ± <math>\ \epsilon_{\pi} </math>. Se i tassi di partenza sono troncati alla k+1-esima cifra decimale ed arrotondati alla k-esima cifra decimale significa che i tassi di interesse di partenza sono noti con k-2 cifre decimali esatte e scriveremo: <math>\ i_{n}</math> ± <math>0,5\cdot\ 10^{-k} </math> e <math>\ \pi_{e} </math> ± <math>0,5\cdot\ 10^{-k} </math>. Ricorrendo alla formula generale di ''[[propagazione degli errori]]'', si potrà valutare il numero di cifre esatte con cui è conoscibile <math>\ i_{r} </math> e quindi in ultima analisi il capitale attualizzato. Va da sè che se il tasso di inflazione atteso viene stimato con un errore <math>\ \epsilon_{\pi} </math> più grande di <math>\epsilon_{n} </math> di fatto sarà inutile la stima di un tasso in forma più accurata dell'altra in quanto la precisione del risultato è determinata dalla grandezza con il più basso numero di cifre esatte. Per completezza si riporta la valutazione degli errori. L’errore risultante dalla formula esatta è dovuto solo alla propagazione degli errori di arrotondamento ed è quantificabile in <math>\epsilon_{r}^\prime </math>=<math>\sqrt{\epsilon_n^2 + \epsilon_{\pi}^2 + \left( - \pi_{e} \cdot \ \epsilon_{n}\right )^2 + \left( -i_n \cdot \ \epsilon_{\pi}\right )^2 }</math>, mentre l’errore risultante dalla formula approssimata (*) è quantificabile in <math>\epsilon_{r} </math>=<math>\sqrt{\epsilon_n^2 + \epsilon_{\pi}^2 + \left( i_{n} \cdot \ \pi_{e}\right )^2 }</math>. Si ipotizzi ora che <math>\ \epsilon_{\pi} \gg \ \epsilon_{n} </math> cioè <math>\ \epsilon_{\pi } </math> sia più grande di due ordini di grandezza (i.e. più grande di un fattore 100) di <math>\ \epsilon_{n} </math>; in libertà potremmo affermare che <math>\ \epsilon_{\pi} </math> è da considerarsi un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a <math>\ \epsilon_{n} </math>. Ragionando ora in termini infinitesimali e tenuto conto che in una somma di infinitesimi prevale l’infinitesimo di ordine inferiore, possiamo trascurare i termini che convergono a zero più velocemente:
Come è noto, i tassi di interesse sono valori numerici troncati/arrotondati ad una certa cifra decimale oppure sono noti con una data incertezza (si pensi alla varianza dell’inflazione attesa); l’errore nella stima di <math> i_{r}</math> nella nostra approssimazione (*) sarà dovuto a due contributi: l’errore di troncamento/arrotondamento <math>\epsilon_{1}</math> e l’errore di approssimazione <math>\epsilon_{2}</math> introdotto nella formula (*) poc'anzi ricavata, <math> \epsilon = \epsilon_{1} + \epsilon_{2} </math>
 
Per generalizzare l'analisi introduciamo le seguenti notazioni. Indichiamo con <math>\ \epsilon_{n} </math> la stima dell’errore di arrotondamento nel tasso di interesse nominale e con <math>\ \epsilon_{\pi} </math> la stima dell’errore di arrotondamento nel tasso di inflazione attesa. Rappresenteremo meglio i valori dei tassi nel seguente modo: <math> i_{n}</math> ± <math>\epsilon_{n} </math> e <math> \pi_{e}</math> ± <math>\ \epsilon_{\pi} </math>. Se i tassi di partenza sono troncati alla k+1-esima cifra decimale ed arrotondati alla k-esima cifra decimale significa che i tassi di interesse di partenza sono noti con k-2 cifre decimali esatte e scriveremo: <math>\ i_{n}</math> ± <math>0,5\cdot\ 10^{-k} </math> e <math>\ \pi_{e} </math> ± <math>0,5\cdot\ 10^{-k} </math>. Ricorrendo alla formula generale di ''[[propagazione degli errori]]'', si potrà valutare il numero di cifre esatte con cui è conoscibile <math>\ i_{r} </math> e quindi in ultima analisi il capitale attualizzato. Va da sè che se il tasso di inflazione atteso viene stimato con un errore <math>\ \epsilon_{\pi} </math> più grande di <math>\epsilon_{n} </math> di fatto sarà inutile la stima di un tasso in forma più accurata dell'altra in quanto la precisione del risultato è determinata dalla grandezza con il più basso numero di cifre esatte.
 
dove il simbolo denota il simbolo di Landau per la relazione di asintotico.
 
In ultima analisi risulta che <math>\epsilon_{r}^\prime \simeq \ \epsilon_{r} </math> ovvero i valori del tasso di interesse reale sono conoscibili con pari incertezza: quanto appena descritto giustifica l’ampio ricorso alla formula (*).
 
 
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