Potenziale vettore: differenze tra le versioni

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==Definizione==
Dato un [[campo vettoriale]] <math>\vecmathbf F : D\Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math>, il potenziale vettore di <math>\vecmathbf F</math> è un campo <math>\vecmathbf G : D\Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math> definito formalmente dalla relazione
 
:<math>\vecmathbf F = \nabla \times \vecmathbf G</math>
ovvero <math>\vecmathbf F</math> è il [[rotore (fisica)|rotore]] di <math>\vecmathbf G</math>.
 
Poiché la divergenza di un rotore è nulla, ''F'' deve avere [[divergenza]] nulla, cioè:
 
:<math>\nabla \cdot \vecmathbf F = 0</math>
 
Esplicitando le componenti del rotore di ''G'' si ottiene il seguente sistema di 3 [[Funzione (matematica)|funzioni]] a 3 [[variabile|variabili]] con, quindi, 9 gradi di libertà:
Un ulteriore metodo di calcolo del potenziale vettore si può ottenere applicando il [[teorema del rotore]]. Con un'opportuna scelta della superficie aperta, la cui [[traccia (matrice)|traccia]] è ''[S]'', il [[flusso]] del campo è uguale al flusso del [[rotore (fisica)|rotore]]
 
:<math>\iint_{[S]} \vecmathbf F \cdot \hat N \ ds = \iint_{[S]} (\nabla \times \vecmathbf G) \cdot \hat N \ ds = \oint_{+C} \vecmathbf G \cdot \hat T \ ds</math>
 
dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla [[circuitazione]] di <math>\vecmathbf G</math> lungo la frontiera di ''[S]''.
 
Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di un [[gradiente]] di una funzione poiché il [[Rotore (fisica)#Rotore del gradiente|rotore del gradiente]] è sempre nullo.<br>
Sia <math>\vecmathbf G + \nabla \Phi</math>, dove ''G'' è un potenziale vettore di ''F'' e <math>\Phi</math> è derivabile due volte. Applicando la definizione:
 
:<math>\nabla \times (\vecmathbf G + \nabla \Phi) = \nabla \times \vecmathbf G + \nabla \times (\nabla \Phi) = F</math>
 
Si evince come il gradiente di <math>\Phi</math> non influisca sulla definizione del potenziale. Quest'ultima trasformazione è un esempio di [[Teoria di gauge|Invarianza di gauge]].
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