Potenziale vettore: differenze tra le versioni

 
==Definizione==
Dato un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf \alpha : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math>, il potenziale vettore di <math>\mathbf \alpha</math> è un campo <math>\mathbf \betabeta_2 : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math> definito formalmente dalla relazione
 
:<math>\mathbf \alpha = \nabla \times \mathbf \betabeta_2</math>
ovvero <math>\mathbf \alpha</math> è il [[rotore (fisica)|rotore]] di <math>\mathbf \beta</math>.
 
:<math>\nabla \cdot \mathbf \alpha = 0</math>
 
Esplicitando le componenti del rotore di ''β<math>\beta_2</math>'' si ottiene il seguente sistema di 3 [[Funzione (matematica)|funzioni]] a 3 [[variabile|variabili]] con, quindi, 9 gradi di libertà:
 
:<math>
\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial \beta_zbeta_{2 z}}{\partial y} - \frac{\partial \beta_ybeta_{2 y}}{\partial z} = \alpha_x \\
\frac{\partial \beta_xbeta_{2 x}}{\partial z} - \frac{\partial \beta_zbeta_{2 z}}{\partial x} = \alpha_y \\
\frac{\partial \beta_ybeta_{2 y}}{\partial x} - \frac{\partial \beta_xbeta_{2 x}}{\partial y} = \alpha_z
\end{matrix}\right.
</math>
Un ulteriore metodo di calcolo del potenziale vettore si può ottenere applicando il [[teorema del rotore]]. Con un'opportuna scelta della superficie aperta, la cui [[traccia (matrice)|traccia]] è ''[S]'', il [[flusso]] del campo è uguale al flusso del [[rotore (fisica)|rotore]]
 
:<math>\int_S \mathbf \alpha \cdot \ \operatorname d \mathbf s = \int_{[S]} (\nabla \times \mathbf \betabeta_2) \cdot \operatorname d \mathbf s = \oint_{\delta S} \mathbf \betabeta_2 \cdot \operatorname d \mathbf r</math>
 
dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla [[circuitazione]] di <math>\mathbf \beta</math> lungo la [[frontiera (topologia)|frontiera]].
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