Potenziale vettore: differenze tra le versioni

 
==Definizione==
Dato un [[campo vettoriale]] <math>\mathbfboldsymbol \alpha : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math>, il potenziale vettore di <math>\mathbfboldsymbol \alpha</math> è un campo <math>\mathbfboldsymbol \beta_2 : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math> definito formalmente dalla relazione
 
:<math>\mathbfboldsymbol \alpha = \nabla \times \mathbfboldsymbol \beta_2</math>
ovvero <math>\mathbfboldsymbol \alpha</math> è il [[rotore (fisica)|rotore]] di <math>\mathbfboldsymbol \beta_2</math>.
 
Poiché la divergenza di un rotore è nulla, ''α'' deve avere [[divergenza]] nulla, cioè:
 
:<math>\nabla \cdot \mathbfboldsymbol \alpha = 0</math>
 
Esplicitando le componenti del rotore di ''<math>\beta_2</math>'' si ottiene il seguente sistema di 3 [[Funzione (matematica)|funzioni]] a 3 [[variabile|variabili]] con, quindi, 9 gradi di libertà:
Un ulteriore metodo di calcolo del potenziale vettore si può ottenere applicando il [[teorema del rotore]]. Con un'opportuna scelta della superficie aperta, la cui [[traccia (matrice)|traccia]] è ''[S]'', il [[flusso]] del campo è uguale al flusso del [[rotore (fisica)|rotore]]
 
:<math>\int_S \mathbfboldsymbol \alpha \cdot \ \operatorname d \mathbfboldsymbol s = \int_{[S]} (\nabla \times \mathbfboldsymbol \beta_2) \cdot \operatorname d \mathbfboldsymbol s = \oint_{\delta S} \mathbfboldsymbol \beta_2 \cdot \operatorname d \mathbfboldsymbol r</math>
 
dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla [[circuitazione]] di <math>\mathbfboldsymbol \beta</math> lungo la [[frontiera (topologia)|frontiera]].
 
Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di un [[gradiente]] di una funzione poiché il [[Rotore (fisica)#Rotore del gradiente|rotore del gradiente]] è sempre nullo.<br>
Sia <math>\mathbfboldsymbol \beta_2 + \nabla \beta_1</math>, dove <math>\beta_2</math> è un potenziale vettore di ''α'' e <math>\beta_1</math> è derivabile due volte. Applicando la definizione:
 
:<math>\nabla \times (\mathbfboldsymbol \beta_2 + \nabla \beta_1) = \nabla \times \mathbfboldsymbol \beta_2 + \nabla \times (\nabla \beta_1) = \mathbfboldsymbol \alpha</math>
 
Si evince come <math>\nabla \beta_1</math> non influisca sulla definizione del potenziale. Quest'ultima trasformazione è un esempio di [[Teoria di gauge|Invarianza di gauge]].
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