Potenziale vettore: differenze tra le versioni

Dato un [[campo vettoriale]] <math>\mathbfboldsymbol \alpha : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math>, il potenziale vettore di <math>\mathbfboldsymbol \alpha</math> è un campo <math>\mathbfboldsymbol \beta_2 : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}</math> definito formalmente dalla relazione

:<math>\mathbfboldsymbol \alpha = \nabla \times \mathbfboldsymbol \beta_2</math>

ovvero <math>\mathbfboldsymbol \alpha</math> è il [[rotore (fisica)|rotore]] di <math>\mathbfboldsymbol \beta_2</math>.

:<math>\nabla \cdot \mathbfboldsymbol \alpha = 0</math>

:<math>\int_S \mathbfboldsymbol \alpha \cdot \ \operatorname d \mathbfboldsymbol s = \int_{[S]} (\nabla \times \mathbfboldsymbol \beta_2) \cdot \operatorname d \mathbfboldsymbol s = \oint_{\delta S} \mathbfboldsymbol \beta_2 \cdot \operatorname d \mathbfboldsymbol r</math>

dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla [[circuitazione]] di <math>\mathbfboldsymbol \beta</math> lungo la [[frontiera (topologia)|frontiera]].

Sia <math>\mathbfboldsymbol \beta_2 + \nabla \beta_1</math>, dove <math>\beta_2</math> è un potenziale vettore di ''α'' e <math>\beta_1</math> è derivabile due volte. Applicando la definizione:

:<math>\nabla \times (\mathbfboldsymbol \beta_2 + \nabla \beta_1) = \nabla \times \mathbfboldsymbol \beta_2 + \nabla \times (\nabla \beta_1) = \mathbfboldsymbol \alpha</math>