Commutatore (matematica): differenze tra le versioni

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{{F|matematica|febbraio 2012}}
In [[matematica]], unper '''commutatore''' èsi unintende oggettouna checomposizione èdi diversodue daelementi zerodi precisamenteuna quandostruttura algebrica riferito ad una [[operazione binaria]] della struttura stessa che fornisce un terzo elemento il quale è diverso dell'elemento neutro precisamente quando i due elementi dati non soddisfasoddisfano la [[proprietà commutativa]].
 
I commutatori sono ampiamente usati nella [[teoria dei gruppi]] e, nella [[teoria degli anelli]],
nelle [[algebre di Lie]] . Nella [[meccanica quantistica]], i commutatori sono usati per formulare il [[principio di indeterminazione di Heisenberg]].
 
== Teoria dei gruppi ==
=== Definizione ===
Sia <math>G</math> un [[gruppo (matematica)|gruppo]] la cui unità denotiamo con ''e''. Il '''commutatore''' di due elementi <math>a</math> e <math>b</math> del gruppo è l'elemento
:<math> [a,b] := a^{-1}b^{-1}ab.\,\!</math>
In alcuni testi, il commutatore è definito in modo lievemente differente:
:<math> [a,b] = aba^{-1}b^{-1}.\,\!</math>
 
=== Proprietà ===
DueSi dice che due elementi <math>a</math> e <math>b</math> del gruppo <math>G</math> ''commutano'' quando <math>ab=ba</math>. Questo accade se e solo se il loro commutatore è nullo:
:<math> [a,b] = 0e.\,\!</math>
 
Il [[sottogruppo]] [[generatori di un gruppo|generato]] da tutti i commutatori di <math>G</math> è detto [[sottogruppo dei commutatori]] o [[sottogruppo derivato]] di ''G''. Un gruppo è [[gruppo abeliano|abeliano]] se e solo se questo sottogruppo è banalecostituito dalla sua unit\`a.
 
InVa alcunisegnalato che in vari testi, il commutatore è definito in modo lievemente differente:
:<math> [a,b]_2 := aba^{-1}b^{-1}=[a^{-1},b^{-1}].\,\!</math>
Anche con questa definizione due elementi commutano sse il commutatore è l'unità e si ottiene lo stesso sottogruppo derivato individuato in precedenza.
 
== Teoria degli anelli ==
=== Definizione ===
Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]]. Il '''commutatore''' di due suoi elementi <math>a</math> e <math>b</math> è l'elemento
:<math>[a,b] := ab-ba.\,\! </math>
 
=== Proprietà ===
Line 26 ⟶ 29:
:<math>[a,b] = 0.\,\!</math>
 
Il commutatore è una funzione ''bilineare'' sull'anello:
:<math>[a,b+c] = [a,b]+[a,c],\,\!</math>
:<math>[a+b,c] = [a,c]+[b,c].\,\!</math>
Il commutatore è ''anticommutativo'', ossia è una funzione bivariata antisimmetrica:
:<math>[a,b] = - [b,a]\,\!</math>
NeIl seguecommutatore cheè iluna commutatore ècomposizione ''nilpotente'':
:<math>[a,a] = 0.\,\!</math>
Il commutatore soddisfa l'[[identità di Jacobi]]:
Line 41 ⟶ 44:
:<math>D_a:A\to A,\,\!</math>
:<math>D_a: b\mapsto [a,b].\,\!</math>
che quindiper definiscela unasuddetta formula si dice rivestire il ruolo di [[derivazione (algebra astratta)|derivazione]] dellsull'anello.
 
Altre relazioni: