Meccanica della frattura: differenze tra le versioni

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<math>w</math> è inoltre definito come:
 
:<math>w=\int^{\epsilon_varepsilon_{ij}}_0 \sigma_{ij} d\epsilon_varepsilon_{ij}</math>
 
, dove
:<math>\sigma_{ij}</math> e <math>\epsilon_varepsilon_{ij}</math> sono i tensori di sforzo e deformazione.
 
Hutchinson, Rice e Rosegreen, successivamente dimostrarono che J caratterizza i campi degli sforzi e deformazioni all'apice della cricca nei materiali elastici non lineari.
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Ipotizzarono un materiale con legame costitutivo assimilabile alla relazione di Ramberg-Osgood:
 
:<math>\frac{\epsilonvarepsilon}{\epsilon_0varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\sigma_0}+\alpha\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)^n</math>
 
, dove
:<math>\sigma_0</math> e <math>\epsilon_0varepsilon_0</math> sono rispettivamente una sollecitazione ed una deformazione di riferimento,
:<math>\alpha</math> è una costante adimensionale caratteristica del materiale e
:<math>n</math> è il coefficiente di incrudimento.
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:<math>\sigma_{ij}= \sigma_0 \left (\frac{EJ}{\alpha \sigma_0^2 I_n r} \right )^{{1}\over{n+1}}\tilde{\sigma}_{ij}(n,\theta)</math>
 
:<math>\epsilon_varepsilon_{ij}=\frac{\alpha \epsilon_0varepsilon_0}{E} \left (\frac{EJ}{\alpha \sigma_0^2 I_n r} \right )^{{n}\over{n+1}}\tilde{\epsilonvarepsilon}_{ij}(n,\theta)</math>
 
, dove
:<math>I_n</math> sono n costanti di integrazione e
:<math>\tilde{\sigma}_{ij} </math> e <math> \tilde{\epsilonvarepsilon}_{ij}</math> sono funzioni adimensionali.
 
Da queste relazioni si nota che per <math>r\to 0</math>, <math>\sigma_{ij}</math> tende a <math>\infty</math> ed esiste quindi una singolarità chiamata ''singolarità HRR''. L'integrale J definisce l'ampiezza di questa singolarità in campo elasto-plastico, così come K, il fattore di intensificazione degli sforzi, definisce la singolarità lineare elastica. Esso descrive quindi in modo compiuto i campi degli sforzi e deformazioni all'apice della cricca nei materiali elastici non lineari.