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Riga 8: Per descrivere l'origine dei termini non lineari nell'interazione elettromagnetica, facciamo comparire la polarizzazione ''P'' nelle equazioni di ''Maxwell'': :<math> \bar{\nabla}\times \bar{H} = J+\frac{\delta\bar{D}}{\delta t} =\sigma \bar{E}+\frac{\delta (\~~epsilon~~varepsilon _{0}\bar{E}+\bar{P})}{\delta t} </math> Assumendo la carica indotta per polarizzazione dal campo ''E'' piccola e che il mezzo sia non conduttivo, si ottiene: Riga 14: \bar{\nabla} ^{2}E -\frac{1}{c^{2}}\frac{\delta^{2} E}{\delta t ^{2}} = \mu _{0}\frac{\delta ^{2}P}{\delta t^{2}} </math> In ottica lineare il termine a destra dell'uguale può essere raccolto grazie alla relazione <math>\bar{P} = \~~epsilon~~varepsilon _{0} \chi \bar{E}</math> dando conto, così, dell'indice di rifrazione del mezzo considerato. In realtà anche nel caso dell'ottica lineare sarebbe necessario tener in considerazione l'anisotropia del mezzo e la sua memoria, cosa che porta a descrivere la suscettibilità <math>\chi</math> sotto forma di tensore e ad esprimere la relazione che lega la polarizzazione e il campo elettrico sottoforma di integrale di convoluzione nel tempo. In ogni caso, tralasciando questi aspetti, si può scrivere la polarizzazione <math>\bar{P}</math> come somma di termini lineari e non: :<math> P=\~~epsilon~~varepsilon _{0} (\chi ^{(1)} E + \chi ^{(2)} E^{2} + \chi ^{(3)} E^{3}+...) </math> Limitandosi a considerare il termine quadratico, si osserva che sostituendo <math>P_{NL}=\~~epsilon~~varepsilon _{0}\chi ^{(2)} E^{2}= \~~epsilon~~varepsilon _{0}\chi ^{(2)} (e^{i2\omega t}+c.c.)</math> nella equazione delle onde si origina un termine che oscilla alla frequenza doppia rispetto a quella iniziale. Questi effetti del secondo ordine diventano importanti quando l'intensità del campo incidente modifica la risposta naturale di tipo elastico alla perturbazione che l'atomo avrebbe se l'intensità incidente fosse molto più piccola di quella del campo atomico. In generale il campo perturbante, ad esempio un fascio laser, genera in un singolo atomo un decentramento fra i baricentri della nuvola elettronica ('''-''') e del nucleo ('''+'''). Questo decentramento è per lo più dovuto alla deformazione della nuvola elettronica rispetto alla sua configurazione naturale, anche se il campo incidente tende ad agire anche sul nucleo in modo opposto. Tuttavia, essendo questo molto più pesante della nuvola elettronica, tale effetto può essere considerato secondario. Se si considera come soglia un decimo del campo atomico (<math>\approx 10^{11}</math>) si ottengono intensità (<math>I=\frac{\~~epsilon~~varepsilon _{0}c}{2}E^{2}</math>) significative di 10<sup>11 </sup>W·cm<sup>2</sup>. Per comprendere nel dettaglio questa descrizione si consideri l'equazione delle forze che agiscono su un elettrone in un atomo sottoposto a un campo esterno incidente: Riga 52: :<math> \chi ^{(1)}=Ne\frac{e/(m\~~epsilon~~varepsilon _{0}) }{\omega _{0} ^{2}-\omega ^{2} + i\omega\gamma} </math> dove ''N'' è la densità dei dipoli nel mezzo. Dalle ultime due espressioni si ricava l'indice di rifrazione del mezzo come somma di un termine puramente reale ''n<sup>'</sup>'' che da conto della variazione indotta sulla fase del campo incidente e di uno puramente immaginario di modulo ''n<sup>' '</sup>'' che descrive le variazioni di ampiezza. :<math> n^{'}\approx 1+\frac{1}{2} \frac{Ne^{2}}{m\~~epsilon~~varepsilon _{0}}\frac{2\omega _{0}(\omega _{0} - \omega)}{4\omega _{0} ^{2}(\omega _{0} -\omega)^{2}+\gamma^{2}\omega _{0} ^{2}} </math> :<math> n^{''}\approx 1+\frac{1}{2} \frac{Ne^{2}}{m\~~epsilon~~varepsilon _{0}}\frac{-\omega _{0}\gamma}{4\omega _{0} ^{2}(\omega _{0} -\omega)^{2}+\gamma^{2}\omega _{0} ^{2}} </math> Se ora si considera l'ipotesi in cui il potenziale è perturbato dal campo incidente esso non è più di tipo armonico, ma è soggetto alla presenza di un termine cubico:

Ottica non lineare: differenze tra le versioni