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==Tipologie di urto==
===Urto monodimensionale===
Consideriamo due corpi approssimabili come [[punto materiale|punti materiali]] che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento ''S'' nel quale i moti dei corpi avvengano lungo l'asse ''x'' e la velocità iniziale del secondo corpo sia nulla: ciò permette di semplificare notevolmente il problema, senza perdere di generalità. Infatti con un'altra [[trasformazione galileiana]] possiamo tornare nel sistema di riferimento originario, trovando le velocità nel sistema di riferimento ''del laboratorio''. Indichiamo con:
Indichiamo con:
*<math>v_{1i}\,</math> la velocità iniziale del primo corpo
*<math>v_{2i}=0\,</math> la velocità iniziale del secondo corpo
*<math>v_{1f}\,</math> la velocità finale del primo corpo
*<math>v_{2f}\,</math> la velocità finale del secondo corpo
:<math>\begin{cases}
\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2 \\
m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}
\end{cases}</math>
Queste equazioni si risolvono facilmente calcolando <math>v_{2f}</math> dalla seconda e sostituendola nella prima. Abbiamo:
Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con <math>m_1</math> e nell'altro membro i termini con <math>m_2</math>, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordandoci che <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
m_1(v_{1i}^2-v_{1f}^2)=m_1(v_{1i}+v_{1f})(v_{1i}-v_{1f})=m_2v_{2f}^2 \\ ▼v_{2f}=\frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f})
:<math>m_1(v_{1i}+v_{1f})(v_{1i}-v_{1f})=m_2\cdot \left[ \frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f}) \right]^2=\frac{m_1^2}{m_2}(v_{1i}-v_{1f})^2</math>
infatti dividendo la prima equazione per <math>\tfrac{1}{2}</math> e tenendo conto della proposizione precedente:
:<math>v_{1i}+v_{1f}=\frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f}) \qquad \qquad \qquad \mbox{se} \;\; v_{1i}\ne v_{1f},</math> altrimenti caso banale (assenza dell'urto)
:<math>(1+\frac{m_1}{m_2})v_{1f}=(\frac{m_1}{m_2}-1)v_{1i}</math> ▼m_1v_{1i}^2-m_1v_{1f}^2=m_2v_{2f}^2-m_2v_{2i}^2 \rightarrow m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})\\
▲m_1(v_{1i} ^2-v_{1f} ^2)= m_1m_2(v_{ 1i}+v_{1f})(v_{1i2f}-v_{ 1f2i}) =m_2v_{2f}^2 \\
da cui:
ovvero dividendo membro a mebro:
:<math>\mathbf{(I)} \qquad v_{1f}=\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) v_{1i}</math>
L'altra velocità finale si trova sostituendo nella conservazione della quantità di moto:
▲:<math> (1+\fracv_{ m_11i} {m_2})+v_{1f}= (\fracv_{ m_12f} {m_2}-1)+v_{ 1i2i} </math>
:<math>v_{2f}=\frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f})=\frac{m_1}{m_2} \left[ 1-\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) \right] v_{1i}=\frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{2m_2}{m_1+m_2} v_{1i}</math>
:<math>\mathbf{(II)} \qquad v_{2f}=\frac {2m_1}{m_1+m_2} v_{1i}</math>
Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:
Quella costituita dalle '''(I)''' e '''(II)''' è la soluzione particolare per un corpo che ne urta un altro fermo. Per ottenere le equazioni generali basta fare un cambio di coordinate, ottenendo le equazioni generali:
:<math> \mathbf {(III)} \qquad \begin{cases} ▼v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i} \\
m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}
\end{cases}</math>
▲:<math>\mathbf {(III)} \qquad \begin{cases}
ovvero:
:<math>\begin{cases}
v_{1f} = \frac{(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}} \\
v_{2f} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}
\end{cases}</math>
Si noti anche la soluzione banale <math>v_{1f}=v_{1i}</math> e <math>v_{2f}=v_{2i}</math>, corrispondente all'assenza di urto: i due corpi proseguono senza interagire, conservando così ovviamente energia cinetica e quantità di moto.
====Moderatori per neutroni====
Dall'Dalla equazionesoluzione '''(I)'''appena trovata si vede come nel caso di <math>v_{2i}=0</math> e di un elevato valore di <math> \ v_{1i}</math>, il valore di <math> v_{1f}</math> è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità diminuita. Per questo motivo un [[moderatore (chimica)|moderatore]] (un mezzo che rallenta i [[neutrone|neutroni veloci]], trasformandoli in [[neutrone|neutroni termici]] capaci di sostenere una [[reazione a catena]]) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbano facilmente i neutroni): l'[[idrogeno]], il più leggero, ha circa la stessa massa di un [[neutrone]].
[[Immagine:Elastischer stoß.gif|frame|center|Urto elastico tra masse uguali]]
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