Differenze tra le versioni di "Equazione differenziale stocastica"

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==Storia==
I primi lavori sulle EDS furono svolti per descrivere il moto Browniano nel [[Annus Mirabilis Papers|famoso articolo]] di [[Einstein]], e allo stesso tempo da [[Marian Smoluchowski|Smoluchowski]]. Tuttavia, uno dei primi lavori riguardanti il moto Browniano è accreditato a [[Bachelier]] (1900) nella sua tesi 'Teoria della Speculazione'. Questo lavoro fu proseguito da [[Paul Langevin|Langevin]]. Più tardi, [[Kiyoshi Itō|Itō]] e [[Ruslan L. Stratonovich|Stratonovich]] posero le EDS su più solide basi matematiche.
 
===Terminologia===
:<math>\dot{x}_i = \frac{dx_i}{dt} = f_i(\mathbf{x}) + \sum_{m=1}^ng_i^m(\mathbf{x})\eta_m(t),\,</math>
 
ove <math>\mathbf{x}=\{x_i|1\le i\le k\}</math> è l'insieme delle incognite, <math>f_i</math> e <math>g_i</math> sono funzioni arbitrarie e le <math>\eta_m</math> sono funzioni casuali del tempo, spesso definite come "termine di rumore". Questa forma è in genere usabile perchèperché esistono tecniche standard per trasformare equazioni di ordine più grande in varie coppie di equazioni di primo ordine, semplicemente aggiungendo piu incognite. Se i <math>g_i</math> sono costanti, il sistema è detto soggetto a rumore additivo, altrimenti è detto soggetto a rumore moltiplicativo. Questo termine (in senso matematico) è in qualche modo fuorviante poichèpoiché col tempo è venuto a significare il caso generale, sebbene cosi facendo sembri implicare il caso limitato in cui :<math> g(x) \propto x</math>. Il rumore additivo è il più semplice dei due casi; in questa situazione la corretta soluzione può spesso essere trovata usando il [[calcolo]] ordinario, e in particolare la ordinaria [[regola della catena]]. Tuttavia, nel caso di rumore moltiplicativo, l'equazione di Langevin non è un'entità ben definita, e deve essere specificato se l'equazione dovrebbe essere interpretata come EDS di Itō o di Stratonovich.
 
In fisica, il principale metodo risolutivo è trovare la funzione di distribuzione di probabilità come funzione del tempo usando l'equivalente [[Equazione Fokker-Planck|equazione di Fokker-Planck]]. L'equazione di Fokker-Planck è una [[equazione differenziale parziale]] deterministica e descrive come la funzione di distribuzione di probabilità evolve nel tempo, allo stesso modo in cui l'[[equazione di Schrödinger]] fornisce l'evoluzione nel tempo della funziona d'onda quantica, o come l'[[Leggi di Fick|equazione della diffusione]] da l'evoluzione nel tempo di concentrazioni chimiche. Alternativamente, soluzioni numeriche possono essere ottenute da simulazioni [[Metodo Monte Carlo|Monte Carlo]]. Altre techine includono l'[[Integrale sui cammini|integrazione sui cammini]] che si basano sulle analogie tra fisica statistica e [[meccanica quantistica]] (per esempio, l'[[Equazione Fokker-Planck|equazione di Fokker-Planck]] può essere trasformata nell'[[equazione di Schrödinger]] riscalando qualche variabile).
[[Categoria:Processi stocastici]]
[[Categoria:Calcolo stocastico]]
 
 
[[de:Stochastische Differentialgleichung]]