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Limite di una successione: differenze tra le versioni

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Un [[numero reale]] <math> a </math> è il limite di una [[successione (matematica)|successione]] di numeri reali <math>\{a_n\} </math> se la distanza fra i numeri <math> a_n </math> ed <math> a </math> è arbitrariamente piccola quando <math> n </math> è [[sufficientemente grande]]. La distanza fra <math> a_n </math> ed <math> a </math> è data dal [[valore assoluto]] <math> |a_n - a |</math>.
 
In altre parole, <math> a </math> è il limite della successione se per ogni <math> \epsilonvarepsilon > 0 </math> esiste un [[numero naturale]] <math> N </math> tale che <math> |a_n - a|<\epsilonvarepsilon </math> per ogni <math> n > N </math>. In questo caso si scrive:<ref>È usata anche la scrittura abbreviata <math>\lim_n a_n</math>, che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico [[punto di accumulazione]] è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]]</ref>
 
:<math>\lim_{n \to +\infty}a_n = a</math>
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In uno [[spazio metrico]] <math>(X,d)</math>, dove <math>d</math> è la funzione [[Distanza (matematica)|distanza]], un punto <math> x </math> di <math> X </math> è il limite di una successione <math>\{x_n\}_n</math> se:
 
:<math>\forall\epsilonvarepsilon>0 \;\exists N:\forall n>N \;d(x_n,x)<\epsilonvarepsilon</math>
 
Questa definizione coincide in <math>\mathbb{R}</math> con quella descritta sopra, se <math>\R </math> è considerato con la usuale [[metrica euclidea]], definita da <math>d(a,b)=|a-b|</math>.
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==Criterio di convergenza di Cauchy==
Una [[successione di Cauchy]] è una successione <math> \{a_n\} </math>, i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra loro. Formalmente, per ogni <math>\epsilonvarepsilon >0 </math> esiste <math> N </math> tale che:
:<math>|a_n - a_m | < \epsilonvarepsilon</math> per ogni <math>n,m > N.</math>
 
Per il [[criterio di convergenza di Cauchy]], una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_di_una_successione"