Teorema di Helmholtz: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
La frase così diventa uguale a quella in Campo vettoriale conservativo, dovrebbe aiutare a capire |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 1:
Il '''teorema di Helmholtz''' afferma che un [[campo vettoriale]] è completamente determinato quando sono noti, in ogni punto del suo dominio, la sua [[divergenza]] e il suo [[rotore (matematica)|rotore]]; inoltre il campo vettoriale può essere espresso come somma di un [[campo vettoriale conservativo]] e di un [[campo vettoriale solenoidale]]. Prende il nome da [[Hermann von Helmholtz]].
==Teorema==
Riga 12:
Allora:
#:<math> \mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; \operatorname dV} +\frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; \operatorname dV}
▲:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; \operatorname dV} +\frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; \operatorname dV} </math>
#:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \nabla \left(\int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, \operatorname dV} \right) +\frac{1}{4\pi} \, \nabla \times \left( \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, \operatorname dV} \right)
▲2) il [[campo vettoriale]] '''A''' può essere espresso come somma di un [[campo vettoriale irrotazionale]] e di un [[campo vettoriale solenoidale]], di cui il primo è completamente determinato dalla [[divergenza]] e il secondo dal [[rotore (matematica)|rotore]]:
▲:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \nabla \left(\int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, \operatorname dV} \right) +\frac{1}{4\pi} \, \nabla \times \left( \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, \operatorname dV} \right) </math>
È bene tener presente che l'operatore [[nabla]] agisce rispetto alle coordinate '''x'''' all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate '''x''' all'esterno e che l'integrazione avviene sulle coordinate '''x''''.
| |||