Isometria del piano: differenze tra le versioni
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Finita generazione dei gruppi di isometrie |
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Chiamiamo quindi <math>T</math> l'isometria che vogliamo costruire, e prendiamo 3 punti qualsiasi <math>A,B,C</math>. Siano <math>A'=T(A), B'=T(B), C'=T(B)</math>.
Come primo passo, possiamo applicare una traslazione H tale che H(A)=A' (tale traslazione esiste ed è unica).
A questo punto, dobbiamo distinguere il caso in cui l'isometria che vogliamo costruire è invertente o meno:
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Ricordando quindi che una traslazione composta ad una riflessione sarà invertente, mentre una traslazione composta ad una rotazione sarà non invertente, abbiamo che in entrambi i casi la traslazione ottenuta è necessariamente T.
=== Osservazione sulla generazione di isometrie ===
La dimostrazione appena data non prova solo che la composizione di riflessioni, rotazioni e traslazioni genera tutte le isometrie del piano, ma anche che la composizione delle sole rotazioni e traslazioni (che sono, ricordiamo, non invertenti) genera tutte le isometrie invertenti.
Esiste un risultato più forte: le stesse traslazioni possono essere generate con la sola composizione di rotazioni, il che implica che le sole rotazioni generano tutte le isometrie non invertenti.
Supponiamo infatti di volere costruire la traslazione <math>T</math> di direzione <math>v</math> e modulo <math>M</math>. Sia <math>A</math> un punto qualsiasi, e <math>T(A)=B</math> la sua immagine. Sarà sufficiente applicare due rotazioni <math>R, S</math> rispettivamente di centro <math>P, Q</math> ed angolo <math>\theta, \zeta</math>tali che:
* dato C punto medio del segmento AB, si abbia AP=PC=CQ=QB
* <math>R</math> ed <math>S</math> siano uno da una parte e uno dall'altra della retta che passa per <math>A</math> e <math>B</math>
* <math>\theta=APC, \zeta=CQB</math>
* l'ordine di composizione è dato dal verso di <math>T</math>
Si può dimostrare un altro risultato interessante: ''le simmetrie assiali'' sono sufficienti per generare tutte le isometrie. Per dimostrarlo, è sufficiente dimostrarlo che qualsiasi traslazione e qualsiasi rotazione può essere realizzata con la composizione di alcune simmetrie assiali.
# Traslazioni: supponiamo di volere costruire la traslazione di direzione <math>v</math> e modulo <math>M</math>. Sarà sufficiente applicare due riflessioni <math>R, S</math> di asse rispettivamente <math>a, b</math> tali che:
:* <math>a</math> e <math>b</math> siano entrambi [[perpendicolarità|perpendicolari]] a <math>v</math> (e quindi [[parallelismo (geometria)|paralleli]] tra di loro)
:* la distanza tra i due assi sia <math>M/2</math>
:* l'ordine di composizione delle due simmetrie è dato dal verso di <math>v</math>
# Rotazioni: supponiamo di volere costruire la rotazione di centro <math>P</math> e angolo <math>\theta</math>. Sarà sufficiente applicare due riflessioni <math>R, S</math> di asse rispettivamente <math>a, b</math> tali che:
:* <math>a</math> e <math>b</math> si [[Incidenza (geometria)|intersechino]] in <math>P</math>
:* l'angolo formato da <math>a</math> e <math>b</math> sia <math>\theta/2</math>
:* l'ordine di composizione delle due simmetrie è dato dal senso in cui misuriamo gli angoli (ovvero solitamente antiorario)
una '''rotazione''' e una '''riflessione''' del [[Piano (geometria)|piano]] sono due particolari [[isometria|isometrie]] del piano, strettamente correlate.
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