Differenze tra le versioni di "Geodetica"

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il sinbolo di Christoffel della nota è stato migliorato
(il sinbolo di Christoffel della nota è stato migliorato)
Le curve che passano per detti punti sono infinitamente vicine alla geodetica. Esprimendole in forma parametrica e con altre 2 pagine circa di passaggi, Einstein deduce l'equazione della geodetica:
:<math>\frac{d^2x^{\tau}}{ds^2} + {\Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds} = 0</math>.
 
Secondo la [[relatività ristretta]], un corpo non soggetto a forze esterne si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme. Ciò è anche il principio di relatività [[Galileo Galilei|galileiana]], cui Einstein aggiunse un'informazione: è valido soltanto in assenza di campo gravitazionale (ciò che caratterizza le regioni dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta).
Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:
 
:<math>\frac{d^2x^{\tau}}{ds^2} + {\Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds} = 0</math>.<ref>Nell'originale il simbolo di Christoffel è così indicato: <math>\Gamma^{\tau_tau}{}_{\mu \nu}= \{ \tau begin{,smallmatrix} \mu {,}tau\\ \mu\nu \end{smallmatrix}\}</math></ref>
 
Imporre che il generico [[simbolo di Christoffel]], un ente matematico, sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un esperimento mentale e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente.
:<math>g_{\mu \nu} = \begin{bmatrix}(+1)&0&0&0\\0&(+1)&0&0\\0&0&(+1)&0\\0&0&0&(-1)\end{bmatrix}</math>.
 
Bisogna notare che la componente temporale <math>g_{4,444}</math> ha segno opposto rispetto alle componenti spaziali, come detto in commento all'equazione per misurare il <math>ds</math>.
 
Einstein commenta a proposito: «le componenti del campo gravitazionale sono le quantità che caratterizzano lo scostamento del moto rettilineo uniforme». Non bisogna confondere la presenza di una forza gravitazionale (possibile anche in un moto rettilineo) dall'azione di un campo gravitazionale, che richiede una variazione di questa forza. L'equazione contiene le derivate prime delle componenti della gravità.
In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.
 
La deformazione del moto uniforme viene, quindi, interpretato come un effetto della gravitazione, «che occupa una posizione eccezionale nei confronti delle rimanenti forze, e soprattutto delle forze elettromagnetiche, in quanto le 10 funzioni <math>g_{\mu, \nu}</math> che rappresentano il campo gravitazionale determinano contemporaneamente le proprietà dello spazio quadridimensionale».
 
Quindi, tali componenti sembrano più importanti di ogni altra forza della fisica, mentre la componente temporale appare la più rilevante di queste.
L'equazione del moto del punto libero si riduce a:
 
:<math>d^{ 2}x^{ \tau} /dt^{ 2} = \Gamma_{4 , 4}Gamma^{ \tau}{}_{44}</math>,
 
avendo posto (ed essendosi ridotto) <math>ds = dx_4 = dt</math>.
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