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Le due definizioni sono equivalenti perché [[topologia quoziente|quozientando]] il bordo del cubo ad un punto si ottiene la sfera.
I f(x),sono un gruppo di ragazze.In tutto sono in 5;la piu'conosciuta e'Albert,una femmina che in ogni canzone si trasveste da maschio!I loro nomi sono:Albert-Victoria-Luna-Sulli-Krystal!La mia preferita e'Luna,la ragazza che su electrik shock,che fa il pezzo 0:40!Questa e' una nuova canzone fatta l'11/06/12.Il gruppo f(x),e'molto conosciuto,pure dagli stranieri!Poi volevo parlare anche del gruppo dei 4minute,un gruppo di ragazze;la piu'famosa e conosciuta e'Hyuna Kim;nella canzone huh,pero',c'e'quasi sempre Gayoon!Hyuna,ha fatto anche la canzone trouble maker con hyunseung,una canzone fatta il 30/11/11 ma,che infine muoiono tutti e due,perche'si sono ingannati a vicenda!
===Struttura di gruppo===
[[File:Homotopy group addition.svg|thumb|240px|right|Composizione di due mappe.]]
Per ''n'' ≥ 1, l'insieme π<sub>''n''</sub>(''X'', ''x'') è in realtà un [[gruppo (matematica)|gruppo]] con l'operazione che a due mappe ''f'' e ''g'', ne associa un'altra ''f'' * ''g'' che le "incolla" nel modo seguente: [[topologia quoziente|quozientando]] l'equatore di ''S<sup>n</sup>'' ad un punto otteniamo un [[bouquet (topologia)|bouquet]] ''B'' di due sfere, e quindi una proiezione ''p'': ''S<sup>n</sup>'' → ''B'' che manda tutto l'equatore nel vertice del bouquet. Mappando le due sfere del bouquet su ''X'' tramite ''f'' e ''g'' (in modo che il vertice sia il punto base), e componendo con la proiezione ''p'' ottengo una nuova mappa, che chiamo ''f'' * ''g'' (dobbiamo anche fissare un nuovo punto base sull'equatore).
Possiamo descrivere questa operazione in modo più rigoroso interpretando ''f'' e ''g'' come mappe dal cubo a ''X'': consideriamo lo spazio
:''C'' = [0, 2] x [0, 1]<sup>n-1</sup>, unione di due cubi [0, 1] x [0, 1]<sup>n-1</sup> e [1, 2] x [0, 1]<sup>n-1</sup>.
Definiamo una funzione continua ''h: C → X'' nel modo seguente: sul cubo di sinistra ''h'' è ''f'', mentre su quello di destra è ''g''. Le due funzioni coincidono sulla parete in comune {1} x [0, 1]<sup>n-1</sup>, che viene mappata tutta su ''x''.
A questo punto "strizziamo" ''C'' per ottenere un altro cubo tramite la mappa
Scusate ma non so piu'cosa scrivere...
:s:[0, 1]''<sup>n</sup>'' → ''C'' ''s''(''t''<sub>1</sub>, ... ''t<sub>n</sub>'') = (2''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub>,... ''t<sub>n</sub>'')
Quindi vi prego di leggere questa pagina e,dire se e'stato interessante o no!Grazie!
e quindi definiamo finalmente ''f'' * ''g'' come ''h'' o ''s''. Notiamo che anche ''f'' * ''g'' manda tutto il bordo del cubo su ''X'', e quindi è un elemento di π<sub>''n''</sub>(''X'', ''x''). Infine, si verifica che se ''f' '' e ''g' '' sono funzioni omotope a ''f'' e ''g'', la funzione composta ''f' '' * ''g' '' è omotopa a ''f'' * ''g'': questo garantisce che la classe di ''f'' * ''g'' sia effettivamente ben definita.
Un grande saluto!
== Proprietà ==
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