Disuguaglianza di Bernoulli: differenze tra le versioni
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La disuguaglianza può anche essere generalizzata ad un qualsiasi esponente reale ''r''. Infatti, se ''x'' > −1, allora
:<math>(1 + x)^r \geq 1 + rx
per ''r'' ≤ 0 oppure ''r'' ≥ 1, e
:<math>(1 + x)^r \leq 1 + rx
per 0 ≤ ''r'' ≤ 1.
Questa generalizzazione può essere dimostrata confrontando le [[derivata|derivate]].
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== Disuguaglianze collegate ==
La seguente disuguaglianza fornisce una stima per eccesso della potenza ''r''-esima di 1 + ''x''. Per ogni numero reale ''x'' ed ''r'' > 0, vale
:<math>(1 + x)^r < e^{rx},
dove ''e'' = [[e (costante matematica)|2.718...]].
È possibile dimostrare questa disuguaglianza sfruttando il fatto che (1 + 1/''k'')<sup>''''k''''</sup> < ''e''.
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