Differenze tra le versioni di "Equazione differenziale stocastica"

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In fisica, le EDS sono tipicamente scritte nella forma di Langevin e vengono riferite come [[#Nota su "L'equazione di Langevin"|"l'equazione di Langevin"]]. Per esempio, un generico insieme di coppie di EDS del primo ordine sono spesso scritte nella forma:
 
:<math>\dot{x}_i = \frac{dx_i}{dt} = f_i(\mathbf{x}) + \sum_{m=1}^ng_i^m(\mathbf{x})\eta_m(t),\,</math>
 
ove <math>\mathbf{x}=\{x_i|1\le i\le k\}</math> è l'insieme delle incognite, <math>f_i</math> e <math>g_i</math> sono funzioni arbitrarie e le <math>\eta_m</math> sono funzioni casuali del tempo, spesso definite come "termine di rumore". Questa forma è in genere usabile perché esistono tecniche standard per trasformare equazioni di ordine più grande in varie coppie di equazioni di primo ordine, semplicemente aggiungendo piu incognite. Se i <math>g_i</math> sono costanti, il sistema è detto soggetto a rumore additivo, altrimenti è detto soggetto a rumore moltiplicativo. Questo termine (in senso matematico) è in qualche modo fuorviante poiché col tempo è venuto a significare il caso generale, sebbene cosi facendo sembri implicare il caso limitato in cui :<math> g(x) \propto x</math>. Il rumore additivo è il più semplice dei due casi; in questa situazione la corretta soluzione può spesso essere trovata usando il [[calcolo]] ordinario, e in particolare la ordinaria [[regola della catena]]. Tuttavia, nel caso di rumore moltiplicativo, l'equazione di Langevin non è un'entità ben definita, e deve essere specificato se l'equazione dovrebbe essere interpretata come EDS di Itō o di Stratonovich.
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