Formula di Grassmann: differenze tra le versioni

:<math> B = \{\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_d\},\quad B_U = \{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_s\},\quad B_W =\{\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_t\}. </math>

Supponiamo l'esistenza di una [[combinazione lineare]] nulla

In altre parole, raggruppando

:<math> \mathbf v = \lambda_1 \mathbf v_1+\ldots \lambda_d \mathbf v_d, \quad \mathbf u = \mu_1 \mathbf u_1+\ldots+\mu_s \mathbf u_s, \quad \mathbf w = \gamma_1 \mathbf w_1+\ldots+\gamma_t \mathbf w_t </math>

si ottiene

Da questo segue che <math> \mathbf w = -\mathbf v-\mathbf u </math>, e poiché sia <math> \mathbf v </math> che <math> \mathbf u </math> appartengono a <math> U </math>, ne segue che anche <math> \mathbf w </math> appartiene a <math> U </math>. Quindi <math> \mathbf w </math> appartiene all'intersezione <math> U\cap W </math>, e si scrive come combinazione lineare di elementi di <math> B </math>. D'altra parte, come elemento di <math> W </math>, è descritto come combinazione lineare di elementi di <math> B_W </math>: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi

:<math> \gamma_1=\ldots=\gamma_t= 0, \quad \mathbf w=0. </math>

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del [[Teorema di isomorfismo#Secondo teorema d'isomorfismo|secondo teorema di isomorfismo]]:

:<math>{U + W} / W \cong U / {U \cap W}</math>

Infatti si ha:

:<math> \dim{({U + W} / W)} = \dim({U / {U \cap W}})</math>