Isometria: differenze tra le versioni
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Un [[diffeomorfismo]]
:<math>f:M\to N
fra due varietà riemanniane (o [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniane]]) induce in ogni punto <math>x</math> di <math>M</math> un [[differenziale (matematica)|differenziale]]
:<math>df_x:T_xM \to T_{f(x)}N
che è un [[isomorfismo]] lineare fra gli [[spazio tangente|spazi tangenti]] in <math>x</math> e in <math>f(x)</math>. La funzione <math>f</math> è un'''isometria'' se per ogni coppia di vettori tangenti <math>v,w</math> in ogni punto <math>x</math> vale la relazione
:<math>g_M(v,w) =g_N(df_x(v), df_x(w)).
Qui <math>g_M</math> e <math>g_N</math> sono il tensore metrico in <math>M</math> e in <math>N</math>.
In altre parole, si richiede che <math>g_M</math> sia il [[pull-back]] del [[tensore]] <math>g_N</math> di rango (0,2):
:<math>g_M = f^{*} g_N
Una varietà riemanniana è anche uno spazio metrico: una isometria fra varietà riemanniane è anche un'isometria fra spazi metrici nel senso usuale.
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