Osservatore dello stato: differenze tra le versioni

:<math>\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=\,A\vec{x}(t) + B\vec{u}(t)\,</math>

:<math>\vec{y}(t)= C\vec{x}(t) + D\vec{u}(t)\,\!</math>

Il [[Vettore (matematica)|vettore]] [[colonna]] <math>\vec{x}(t)\,\!</math> è ciò che vogliamo osservare, per quanto detto in precedenza abbiamo a disposizione gli ingressi forniti al sistema <math>\vec{u}(t)\,\!</math> e le sue uscite <math>\vec{y}(t)\,\!</math>.

Per costruire un osservatore di stato è necessario costruire un sistema dinamico che con le informazioni <math>\vec{u}(t)\,\!</math> e <math>\vec{y}(t)\,\!</math> riesca a stimare lo stato garantendone la convergenza:

:<math>\lim_{t \to +\infty} |\vec{x}(t) - \vec{\hat{x}}(t)| = \vec{0} </math>, dove <math>\vec{\hat{x}}(t)\,\!</math> è lo stato stimato.

:<math>\frac{d\vec{\hat{x}}(t)}{dt}=\,F\vec{\hat{x}}(t) + L\vec{u}(t) + G\vec{y}(t)\,</math>

dove <math>\vec{\hat{x}}(t)\,\!</math> è lo stato stimato.

\,\!</math>) l'uscita stimata dal sistema può essere espressa come <math>\vec{y_s}(t) = C\vec{\hat{x}}(t)\,\!</math>. Dunque assumendo <math>F = A - GC \,\!</math> e <math>L = B \,\!</math> l'espressione dell'osservatore di stato diventa:

:<math>\frac{d\vec{\hat{x}}(t)}{dt}=\,A\vec{\hat{x}}(t) + B\vec{u}(t) + G(\vec{y}(t) - \vec{y_s}(t))\,</math>.

Questa nuova formulazione rende evidente la modalità con cui funziona l'osservatore di stato. Infatti lo stato osservato <math>\vec{\hat{x}}(t)\,\!</math> è ottenuto utilizzando il modello matematico noto a cui viene aggiunto un termine di correzione, questo termine è pesato dalla matrice <math>G\,\!</math> e modifica la stima dello stato in basa alla "distanza" tra l'uscita misurata e quella stimata.

:<math>\frac{d\vec{e}(t)}{dt}=\,(A- GC)\vec{e}(t)\,</math>, dove <math>\vec{e}(t) = \vec{x}(t) - \vec{\hat{x}}(t)\,\!</math>.

Se la [[matrice]] <math>A-GC\,\!</math> è una [[matrice definita negativa]] <math>\vec{e}(t)\,\!</math> tende a <math>\vec{0}\,\!</math>, quindi la convergenza è verificata.

La caratterizzazione fatta è del tutto generale, è evidente che la velocità di convergenza dell'osservatore di stato può essere modificata agendo sulla matrice <math>G\,\!</math>. Tipicamente viene associato a questo tipo di osservatore il nome di '''Osservatore di Luenberger''' o di '''osservatore deterministico''' per distinguerlo dall'osservatore non deterministico detto '''[[Filtro di Kalman]]'''.

In realtà entrambi i tipi di osservatore hanno la medesima struttura e si differenziano solo per la scelta della matrice <math>G\,\!</math>, nel caso deterministico la scelta è legata esclusivamente alla velocità di convergenza della stima. Mentre nel caso non deterministico la scelta è influenzata dall'incertezza sulla misura di <math>\vec{u}(t)\,\!</math> e <math>\vec{y}(t)\,\!</math>.

Se il sistema da osservare è governato da un modello non lineare risulta molto difficile fornire una struttura generale per un osservatore. In questi casi le formulazioni estese degli osservatori di [[David Luenberger|Luenberger]] e [[Rudolf_Kalman | Kalman]] sono ottenute linearizzando il sistema per un generico punto di funzionamento (e non per un punto di equilibrio) ed introducendo una legge adattativa per la <math>G\,\!</math> che garantisca la convergenza dell'osservatore nei diversi punti di funzionamento.