Progressione aritmetica: differenze tra le versioni
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Se il primo termine di una progressione aritmetica è ''a'' e la ragione è ''d'', allora l'n-esimo termine della successione è dato da:
:<math>a_n=a+(n-1)d
Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:
:<math>a_r=a_s+(r-s)d
La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama '''serie aritmetica'''. La somma ''S'' dei primi ''n'' valori di una progressione aritmetica è uguale a:
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:<math>S_n={{1\over 2}}n(a_1 + a_n)</math>
dove <math>a_1
=== Esempio: Somma dei primi ''n'' positivi ===
Per esempio per trovare la somma dei primi ''n'' [[numero naturale|interi positivi]]:
:<math>\sum_{k=1}^n k
si calcola:
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== Dimostrazione ==
Si deve dimostrare che <math>\frac {n(a_1+a_n)}{2}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo <math>S
:<math>S=(a_1)+(a_2)+(a_3)+\cdots+(a_n)
:<math>S=(a_n)+(a_{n-1})+\cdots+(a_2)+(a_1)
:______________________________________________________
:<math>2S=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots+(a_1+a_n)
La riga inferiore presenta addendi uguali perché <math>(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})=\cdots=(a_1+a_n)
* <math>(a_2)=(a_1+d)</math>
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Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma.
Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene <math>n
:<math>2S=n(a_1+a_n)
dividendo entrambi i membri dell'equazione per <math>2
:<math>S=\frac {n(a_1+a_n)}{2}
== Caratteristiche ==
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