Differenze tra le versioni di "Supporto (matematica)"

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Nel caso di una [[curva (matematica)|curva]], il supporto è definito come l'[[immagine (matematica)|immagine]] della parametrizzazione della [[curva (matematica)|curva]].
 
Nel caso di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu \!</math> su uno [[spazio misurabile]] <math>(X,\mathcal{A})\!</math>, il supporto è definito come la chiusura del [[sottoinsieme]] di <math>X\!</math> i cui punti hanno la proprietà che ogni loro [[intorno]] ha misura [[numero positivo|positiva]].
 
== Funzioni ==
Sia <math>X</math> uno [[spazio topologico]], e <math>Y</math> uno [[spazio vettoriale]]. Sia:
 
:<math>f: \Omega\subseteq X \to Y \!</math>
 
Si definisce supporto di <math>f</math> l'insieme:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 36|rudin}}</ref>
 
:<math>\mathrm{supp}\, f := \overline{\{ \mathbf{x} \in \Omega\, t.c. \, f(\mathbf{x})\ne \mathbf{0} \} } \!</math>
 
Di particolare importanza in analisi sono le [[Funzione a supporto compatto|funzioni a supporto compatto]].
== Teoria della misura ==
 
Il supporto di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu \!</math> su uno [[spazio misurabile]] <math>(X,\mathcal{A})\!</math> è la [[chiusura (topologia)|chiusura]] del [[sottoinsieme]] di <math>X\!</math> i cui punti hanno la proprietà che ogni loro [[intorno]] ha misura [[numero positivo|positiva]].
 
Sia <math>(X,\mathcal{A},\mu)\!</math> uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:
 
:<math>\mathrm{supp} \, \mu := \overline{\{x\in X \, : \forall N \ni x, \, \mu (N)>0\}}\!</math>
 
== Curve ==
 
Il supporto di una [[curva (matematica)|curva]] è [[definizione|definito]] come l'[[immagine (matematica)|immagine]] della parametrizzazione della [[curva (matematica)|curva]]. Sia <math>\mathbf{r} \!</math> la parametrizzazione di una [[curva (matematica)|curva]]:
 
:<math>\mathbf{r}: I \subseteq \R \to \R^n \!</math>
 
allora il suo '''supporto''' <math>\Gamma \!</math> è l'[[insieme]]:
 
:<math>\Gamma = \{\mathbf{x} \in \R^n \, t.c. \, \exists t \in I,\, \mathbf{x}=\mathbf{r}(t) \} \!</math>
 
oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:
 
:<math>\Gamma = \mathbf{r}(I) \!</math>
 
Ricordiamo che per descrivere la [[curva (matematica)|curva]] non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo '''supporto'''), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva <math>\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi]</math> e la curva <math>\gamma_2(t)=(\cos t,\sin t), t\in [0,3\pi]</math> hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.
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