Tensore di curvatura di Ricci: differenze tra le versioni

:<math> v \mapsto {\rm Ric}(v,v) </math>

è costante su tutti i vettori di lunghezza unitaria, allora il tensore di Ricci è un multiplo del tensore metrico

e la varietà è detta [[varietà di Einstein]].

 

Le [[curvatura sezionale|curvature sezionali]] di una varietà riemanniana determinano il [[tensore di Riemann]] e conseguentemente anche il tensore di Ricci. D'altra parte, il tensore di Ricci fornisce una media delle curvature sezionali lungo rette. Più precisamente,

sia <math>v</math> un vettore tangente di lunghezza unitaria. Il numero

è la media delle curvature sezionali dei piani passanti per <math>v</math>, moltiplicata per <math>(n-1)</math>.

 

=== Distorsione del volume ===

Il tensore di Ricci misura il modo in cui la [[forma volume]] della varietà differisce localmente dall'usuale forma volume euclidea. In una [[atlante (topologia)|carta]] determinata da [[coordinate geodetiche]] intorno ad un punto, il [[tensore metrico]] è bene approssimato dalla metrica Euclidea, nel senso che vale la formula

In queste coordinate, la forma volume ha la forma seguente.

:<math>d\mu_g = \Big[ 1 - \frac{1}{6}R_{jk}x^jx^k+ O(|x|^3) \Big] d\mu_{\delta}</math>

=== Curvatura scalare ===

Il tensore di Ricci è l'unico tensore non nullo ottenuto contraendo due indici del tensore di Riemann. A loro volta, i due indici del tensore di Ricci possono essere contratti ed il risultato è la [[curvatura scalare]]

La curvatura scalare è quindi la [[traccia (matrice)|traccia]] del tensore di Ricci.

 

:<math>Z_{ij} =R_{ij} - \frac{R}{n}g_{ij}</math>

ottenuto togliendo al tensore di Ricci la sua traccia, divisa per la dimensione <math>n</math>. Questo tensore è effettivamente a traccia nulla, vale cioè la relazione

In dimensione <math>n</math> maggiore o uguale a tre, il tensore <math>Z</math> è ovunque nullo se e solo se <math>R=\lambda g</math>, cioè se la varietà è una [[varietà di Einstein]].