Formule di prostaferesi: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|dicembre 2010}}
{{Avvisounicode}}
In [[trigonometria]], le '''formule di prostaferesi''' permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.
 
== Prima formula di prostaferesi ==
:<math>\sinmathrm{sen}\,\alpha+\sinmathrm{sen}\,\beta=2\sin,\mathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{cassetto
|titolo=Dimostrazione
|testo=La formula di partenza può essere riscritta come:
:<math>\sinmathrm{sen} \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2}\right)+\sinmathrm{sen} \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)</math>
 
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene:
:<math>\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}+\sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
 
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}+\sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
 
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
:<math>2\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
}}
 
== Seconda formula di prostaferesi ==
:<math>\sinmathrm{sen}\,\alpha-\sinmathrm{sen}\,\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin,\mathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{cassetto
|titolo=Dimostrazione
|testo=La formula di partenza può essere riscritta come:
:<math>\sinmathrm{sen} \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2} \right)-\sinmathrm{sen} \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)</math>
 
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene:
:<math>\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}-\sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
 
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}-\sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
 
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
:<math>2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
}}
 
== Terza formula di prostaferesi ==
:<math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{cassetto
|titolo=Dimostrazione
|testo=La formula di partenza può essere riscritta come:
:<math>\cos \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2} \right)+\cos \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2} \right)</math>
 
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[coseno]], si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
 
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
 
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
 
== Quarta formula di prostaferesi ==
:<math>\cos\alpha-\cos\beta=-2 \sin,\mathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \sin,\mathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{cassetto
|titolo=Dimostrazione
|testo=La formula di partenza può essere riscritta come:
:<math>\cos \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2} \right)-\cos \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2} \right)</math>
 
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[coseno]], si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}- \sin,\mathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
 
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2} \sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \sinmathrm{sen} \frac {\beta+\alpha}{2} \sinmathrm{sen} \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
 
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
:<math>-2\sinmathrm{sen} \frac {\alpha+\beta}{2}\sinmathrm{sen} \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
}}
 
== Formule di prostaferesi per la tangente ==
:<math>\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac {\sinmathrm{sen}(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}</math> \qquad \mathrm{con} \ <math>\alpha,\beta \ne (2k+1) \frac{\pi}{2} ; k \in \Z </math>
 
{{cassetto
|titolo=Dimostrazione
|testo=La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di [[tangente (trigonometria)|tangente]], come:
:<math>\frac {\sinmathrm{sen}\,\alpha} {\cos\alpha} \pm \frac {\sinmathrm{sen}\,\beta} {\cos\beta}</math>
 
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i [[coseno|coseni]] non siano nulli:
:<math>\frac {\sinmathrm{sen}\,\alpha \cos\beta} {\cos\alpha \cos\beta} \pm \frac {\sinmathrm{sen}\,\beta \cos\alpha} {\cos\beta \cos\alpha}</math>
 
Da cui, raccogliendo il [[denominatore]]:
:<math>\frac {\sinmathrm{sen}\,\alpha \cos\beta \pm \sinmathrm{sen}\,\beta \cos\alpha} {\cos\alpha \cos\beta}</math>
 
Da cui, giacché il [[numeratore]] è il risultato delle [[Trigonometria#Formule di addizione e sottrazione|formule di addizione e sottrazione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene per sostituzione:
:<math>\frac {\sinmathrm{sen}(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}</math>
}}
 
== Formule di prostaferesi per la cotangente ==
:<math>\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac {\sinmathrm{sen}(\beta\pm\alpha)} {\sinmathrm{sen}\,\alpha \sin, \mathrm{sen}\,\beta}</math> \qquad \mathrm{con} \ <math>\alpha,\beta \ne k \pi ; k \in \Z </math>
 
{{cassetto
|titolo=Dimostrazione
|testo=La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di [[cotangente]], come:
:<math>\frac {\cos\alpha} {\sinmathrm{sen}\,\alpha} \pm \frac {\cos\beta} {\sinmathrm{sen}\,\beta}</math>
 
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i [[seno (trigonometria)|seni]] non siano nulli:
:<math>\frac {\cos\alpha \, \mathrm{sen}\sin,\beta} {\sinmathrm{sen}\,\alpha \, \mathrm{sen}\sin,\beta} \pm \frac {\cos\beta \sin, \mathrm{sen}\,\alpha} {\sinmathrm{sen}\,\beta \, \mathrm{sen}\sin,\alpha}</math>
 
Da cui, raccogliendo il [[denominatore]]:
:<math>\frac {\cos\alpha \, \mathrm{sen}\sin,\beta \pm \cos\beta \sin, \mathrm{sen}\,\alpha} {\sinmathrm{sen}\,\alpha \, \mathrm{sen}\sin,\beta}</math>
 
Da cui, giacché il [[numeratore]] è il risultato delle [[Trigonometria#Formule di addizione e sottrazione|formule di addizione e sottrazione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene per sostituzione:
:<math>\frac {\sinmathrm{sen}\left(\beta\pm\alpha\right)} {\sinmathrm{sen}\,\alpha \sin, \mathrm{sen}\,\beta}</math>
}}