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== Dimostrazione ==
OrdiniamoSi innanzituttoconsideri iun ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo <math>[a,b]</math>. Oraed consideriamo launa successione <math>f_n</math>. Allora essa è limitata sul primo razionale <math>q_1</math>, ma poiché <math>[-M,M]</math> è un compatto (dove <math>M</math> è la costante di equilimitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su <math>q_1</math>, che indichiamo con <math>f_{1,n}</math>. Ora laLa sottosuccessione <math>f_{1,n}</math> è limitata susul secondo razionale <math>q_2</math> e ammette dunque una sotto-sottosuccesseione convergente su <math>q_2</math>, che indichiamoindicata con <math>f_{2,n}</math>. Questa a sua volta sarà limitata su <math>q_3</math>, e così via. Procedento così,in questo modo abbiamosi costruitocostruisce una successione di sottosuccessioni <math>f_{m,n}</math> tali che <math>f_{m,n}</math> converge per ogni <math>q_i</math>, con <math>i</math> minore o uguale a <math>m</math>. A questo punto costruiamoè lapossibile nostracostruire candidatauna sottosuccessione estraendo la diagonale delle <math>f_{m,n}</math>, cioè prendendo la successione <math>f_{n,n}</math>, che converge su ogni razionale contenuto in <math>[a,b]</math>.
VogliamoSi vuole dimostrare che la successione <math>f_{n,n}</math> è di Cauchy su <math>[a,b]</math>, poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque <math>\varepsilon</math> e si ricavi dall'equicontinuità il <math>\delta</math> corrispondente. Ricoprendo quindi <math>[a,b]</math> con <math>N</math> intervallini <math>I_n</math>, tutti di ampiezza minore di <math>\delta</math>, ogni <math>t</math> dell'intervallo <math>[a,b]</math> appartiene a un <math>I_n</math>. Quindi si ha:
Fissiamo dunque <math>\varepsilon</math> e ricaviamo dall'equicontinuità il <math>\delta</math> corrispondente. Ricopriamo quindi <math>[a,b]</math> con <math>N</math> intervallini <math>I_n</math> tutti di ampiezza minore di <math>\delta</math>. Allora ogni <math>t</math> dell'intervallo <math>[a,b]</math> appartiene a un <math>I_n</math>. Quindi
:<math>|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(\tau)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_i)|+|f_{n,n}(q_i)-f_{m,m}(q_i)|+|f_{m,m}(q_i)-f_{m,m}(\tau)| \ </math>
Ora ilIl termine centrale a secondo membro è minore di <math>\varepsilon</math> per <math>m,n</math> sufficientemente grandi, poiché <math>f_{n,n}</math> converge su tutti i razionali. Il primo e il terzo termine a secondo membro sono invece minori di <math>\varepsilon</math>, per <math>m,n</math> sufficientemente grandi, in virtù dell'equicontinuità delle <math>f_{n}</math>. Se ora si considera il massimo valore su <math>t</math> si ottiene che la norma infinita della differenza tra <math>f_{n,n}</math> e <math>f_{m,m}</math> è minore di <math>\varepsilon</math> per <math>m,n</math> sufficientemente grandi. Dunque <math>f_{n,n}</math> è di Cauchy e pertanto converge ad una funzione continua.
<math>f_{n}</math>. Se ora prendiamo il max su t otteniamo che la norma infinita della differenza tra <math>f_{n,n}</math> e <math>f_{m,m}</math> è minore di <math>\varepsilon</math> per <math>m,n</math> sufficientemente grandi. Dunque <math>f_{n,n}</math>
è di Cauchy e pertanto converge ad una funzione continua.
== Generalizzazione ==
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